确定性的终结-第14章
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占洹０凑栈〗炭剖橹幸桓龊苤匾亩ɡ恚惴鸏在希尔伯特空间里有实本征值ln，时间演化证明是振荡项的叠加。实际上，刘维尔方程的形式解是ρ（t）＝exp（－itL）ρ（0），振荡项exp（－itln）＝costln－isintln与本征值ln相联系，未来和过去在其中起着相同的作用。为包括不可逆性，我们需要像ln=ωn…iγn这样的复本征值。于是，这将产生对时间演化的指数 衰减， 它在未来（ t＞ 0）减小，而在过去（t＜ 0＝增加，从而时间对称性被打破。
但是，获得复本征值只有在我们离开希尔伯特空间才是可能的。现在，我们的主要目标是理解我们必须这么做的物理原因。这来自自然界中存在持续相互作用这个无可逃避的事实。我们考虑我们置身于其中的这个房间时，大气中的分子在不断地碰撞，这与诸如真空中有限数目的分子的瞬时相互作用完全不同。从而，大气中的分子在有限长的时间里相互作用，最终会逸入无穷。持续相互作用与瞬时相互作用之间的区别在从经典动力学向热力学的迁变中有至关重要的意义。经典动力学抽取一定数目的粒子，孤立地考察它们的运动，在相互作用永不停止时产生不可逆性。概言之，动力学在我们孤立地考察有限数目分子这个意义上对应于还原论观点。不可逆性则产生于一种更为整体的观点，其中我们把大量粒子所驱动的系统视为一个整体。要使这一区别更加清楚，我们将证明为什么需要奇异分布函数，且必须离开希尔伯特空间。
IV
瞬时相互作用可以用定域分布函数来描述。要描述像大气这样大的空间里的持续相互作用，我们需要退定域分布函数。为了更准确地确定定域分布函数与退定域分布函数ρ之间的区别，我们从一个简单的例子着手。在一维系统里，坐标x从…∞延伸到＋∞，定域分布函数集中在这条线的有限区段上。一个特殊情况是定域在一个给定点上且随时间沿线运动的单个轨道。相反，退定域分布函数则扩展到整条线。这两类函数描述不同的情况。作为一个例子，我们考虑散射。在通常的散射实验中，我们制备一束粒子并将其射向障碍物（即散射“中心”），于是，我们有图5．l所示的3个阶段。
在这个实验里，粒子束首先到达散射中心，然后与散射中心相互作用，最后又呈自由运动。这里，重要之点在于，相互作用过程是瞬时的。相反，对于退定域分布，粒子束扩展到整条轴，则散射既无开始亦无终止，于是我们有了所谓持续散射。
在物理学史中，瞬时散射实验起了很重要的作用，它使我们得以研究基本粒子之间的相互作用，例如质子和电子间的相互作用。然而，在许多情况下，特别在像气体和液体这样的宏观系统内，我们有持续相互作用，因为碰撞永不停止。总之，瞬时相互作用与定域分布函数（如轨道）相关联；而持续相互作用与扩展到整个系统的退定域分布相关联。
热力学系统由持续相互作用所表征，因而必须用退定域分布来描述。为了刻画热力学系统，我们必须考虑热力学极限，即在粒子数N和体积V都增加的情况下，它们的比（即浓度N／V）保持不变。尽管形式上我们考虑极限 N→∞，V－》∞，当然，根本不存在粒子数目无穷多的动力学系统（宇宙也不例外）。但这个极限只不过意味着，用1/N或1/V项描述的表面效应可以被忽略。在所有宏观物理学中，热力学极限起着核心作用。没有这一概念，我们甚至不能定义物质的状态，诸如气态、液态或固态，不能描述这些物态之间的相变，也不能区分第二章讨论过的近平衡和远离平衡这两种情况。
现在我们来解释，为什么退定域分布函数的引入迫使我们离开那类正经函数，从而离开希尔伯特空间。为了做到这一点，我们必须考虑几个初等数学概念。首先，每一位数学专业的大学生都熟悉周期函数，如sin（2πx/λ）。当我们给坐标x加上波长λ时，这一函数保持不变，因为sin（2πx/λ）=sin（2π（x＋λ）/λ）。其他的周期函数是cos（2πx/λ），或是它们的复组合ei（2πx/λ）=cos（2πx/λ）＋isin（2πx/λ）。我们通常用波矢k=2π/λ代替波长λ，并把指数eikz称为平面波。
其次，傅里叶级数（或傅里叶积分）的经典理论表明，坐标X的函数，比如f（x），可以表示为对应于波矢（的周期函数的叠加，或更特别地，可以把f（x）表达为平面波eikx的叠加。在这一叠加中，每个平面波乘以幅度φ（k），φ（k）是k的函数。函数φ（k）称为f（x）的傅里叶变换。
简言之，我们可以从坐标x的函数f（x）的描述变换成用波矢k的描述φ（k），当然，逆变换同样可能。注意到f（x）与φ（k）之间存在着一种对偶性亦很重要。若f（x）延拓一个空间间隔Δx（而在间隔外为零），则φ（x）延拓“谱”间隔Δk～1/Δx。当空间间隔Δx增加时，谱间隔Δk减小，反之亦然。
在第一章第III节和第三章第II节，我们定义了奇异函数δ（x）。如我们所见，δ（x）仅在X＝0处不等于0，从而谱间隔Δx等于0，且当Δk～1/Δx时，谱间隔是无穷大。相反，退定域函数在Δx→∞时导致了以k为自变量的奇异函数，例如δ（k）。所以，退定域分布函数对于描述持续相互作用是一个要素。在平衡时，分布函数ρ是哈密顿量H的函数（见第三章第l节）。哈密顿量包含动能，动能是动量p的函数而不是坐标的函数。因此，哈密顿量包含具有奇异傅里叶变换的一个退定域部分。这样，奇异函数在我们的动力学描述中扮演着一个重要角色并不令人感到惊异。事实上，正是我们对这些函数的需求迫使我们离开希尔伯特空间。是哈密顿量的函数的平衡分布，已经处于希尔伯特空间之外了。
V
我们现在借助刘维尔算符（参见第III节）将统计描述与轨道描述进行比较。我们感到很意外，这是由于统计描述引入了完全不同的一些概念，甚至在我们考虑的沿一条直线运动的自由粒子最简单的情况下已经显而易见。我们在第II节看到，粒子的坐标q随时间呈线性变化，而动量p则保持不变。相反，统计描述用与q的博里叶变换相联系的波矢k和动量P来定义。我们研究声学或光学问题时经常涉及波矢，但是在这里，波矢出现在动力学问题中了。原因是，对于自由粒子，刘维尔算符L仅是一个导数算符。我们在第四章第I节注意到，本征函数是指数exp（ikx），本征值是pk/m。因为exp（ikx）＝cos kx＋isinkx，所以本征函数exp（ikx）是周期函数。与定域于单个点上的轨道形成鲜明对照的是，它扩展到整个空间。在统计表述中，就自由粒子而言，运动方程的解可以通过平面波的叠加而得到。当然，在这个简单例子中，这两种描述预期是等价的。运用傅里叶变换理论，我们可以用平面波来重建轨道（参见图5．2）。因为轨道集中在一点，我们必须延拓整个谱间隔（Δk→∞）来叠加平面波。
结果，当q＝q0时，平面波的幅度通过相长干涉而增加；而当q=q0时，它们通过相消干涉而消失。在可积系统里，波矢k不随时间而变化。通过叠加平面波，我们可以在任一时刻重建轨道。但这里考虑的重要之点是，轨道不再是一个原始概念，而是一个作为平面波的结构的导出概念。因此可以设想，共振能够威胁产生轨道的相长干涉。只要轨道还被作为一个原始的、不可约的概念，这便无法加以考虑。已知由相空间中的点表示的轨道，我们可见，轨道坍缩对应于一个点随时间分解为多个点的情形，恰如我们在第一章分析过的扩散过程。于是也像扩散过程那样，同样的初始条件会导致多个轨道。
刘维尔算符的本征值如kp／m对应于庞加莱共振中出现的频率。它们依赖于k和p，而不依赖于坐标。因而，运用波矢k是讨论庞加莱共振所起作用的一个合理出发点。运用平面波，我们不仅能描述轨道（它们对应于瞬时相互作用），而且还能够描述退定域情况。如我们所见，这将导致波矢k中的奇异函数。我们现在用波矢的语言来考察相互作用对统计描述的影响。
VI
假定哈密顿量中的势能V为二粒子相互作用之和，则它满足充分确立的下述定理：粒子j和粒子n之间的相互作用修正两个波矢kj和kn，但它们的和守恒。这里有守恒律：kj＋kn＝kj'＋kn'，其中kj'和kn'是相互作用后的波矢。
考虑由自由运动所分开的逐次事件，我们能够在统计形式内用图解方法来描述动力学演化。在每个事件处，波矢k和动量p均被修正，但它们在事件之间保持守恒。我们现在更详细地考察这些事件的特性。
在第三章第I节，我们引入了关联概念，现在我们将以更大的精度定义它。分布函数p（q，p，t）既依赖于坐标也依赖于动量。若我们把这一函数对坐标求积分，则会失去关于粒子在空间中位置（从而关于关联）的所有信息。我们得到函数ρ0内（p，t），它仅提供关于动量的信息，所以ρ0称为关联真空。另一方面，对除了粒子i和j的坐标qi和qj以外的所有坐标求积分，我们保留关于粒子i和j之间可能的关联的信息，这样的函数内称为二粒子关联。同理，我们可以定义三粒子关联等等。在统计描述中，用波矢取代通过其傅里叶变换依赖于分布函数的坐标很重要，因为波矢出现于刘维尔算符的谱分解之中。
现在，我们将考虑波矢守恒律。其中，每一个事件可以用有两条入线kj、kn和两条出线kj'、kn'的点表示，且kj＋ kn＝kj'＋kn'。
另外，在每一点处，相互作用粒子的动量p都有所改变，导数算符出现。图5．3所示为这种最简单的事件。
我们把图5．3所示的图叫做传播事件或传播图。它对应于粒子j和n之间二粒子关联内的修正。但我们也可以从其中kj＝kn＝0的关联真空ρ0出发，产生二粒子关联ρkj；kn；且用kj=kn＝0保持波矢之和守恒（参见图5．4）。于是，我们有所谓关联产生图或产生片断。我们也有如图5。5所示的消灭片断，它把二粒子关联变换成关联真空。
我们现在开始把动力学视为关联的历史。例如，图5．6表示从关联真空开始的五粒子关联的出现，与相互作用相关联的事件产生关联。
现在，我们能够把庞加莱共振效应引入到动力学的统计描述之中。庞加莱共振与动力学过程耦合，恰似共鸣在音乐里与谐波耦合。在我们的描述中，庞加莱共振与产生片断和消灭片断耦合（参见图5．7），产生起始于给定关联态（关联真空仅仅是一个例子）且最终返回相同关联态的新动力学过程。在图5．7里，这些动力学过程描绘为气泡。关联态受到保护，而动量分布改变（记住每一个涡旋引入一个导数算符 ）。
这些气泡对应于必须作为一个整体加以考虑的事件，它们引入了非牛顿因素，因为，在轨道理论中不存在类似的此种过程。这些新过程对动力学有显著的影响，因为它们打破了时间对称性。实际上，这些过程导致了总是在不可逆过程的唯象理论（包括玻尔兹曼
