数学新干线-第3章
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1、墨斗鱼、章鱼和海星各有几只？ 15分
问题
有墨斗鱼、章鱼和海星共12只，总共有87只脚。
那么请问， 墨斗鱼、章鱼和海星各有几只呢？
提示
墨斗鱼的脚是10只、章鱼的脚是8只、海星的脚是5只。
解题 墨斗鱼、章鱼和海星各有几只？
把墨斗鱼、章鱼和海星分别设为X只、Y只、Z只。
头 数： X＋Y＋Z=12。。。。。。①
脚合计： 10X＋8Y＋5Z=87。。。。。。②
所以： y = （27…5x）/3
由于Y是整数。所以必须用3除去 27…5x。因此，x=3
所以 Y=4、Z=5
答案
墨斗鱼3只、章鱼4只、海星5只。
小知识角
刚才我们计算过的＇计算墨斗鱼、章鱼和海星＇，是有名的鹤龟计算的应用。鹤龟计算的元祖是记载在3世纪中国的数学书＇孙子算经＇里面的。那时并不是鹤和龟，而是野鸡和兔子。
日本初次提到这类问题是在17世纪的＇因归算歌＇里，仍然是野鸡和兔子。
内容是＇野鸡和兔子共有32只，数一数脚有94只。野鸡和兔子各有多少只？＇
虽然用方程式很简单就能解题，但是在这里让我们用传统的假设方法做一做试试。
假设全部是野鸡的话，应该有64（32×2）只脚。由于实际有94只脚，比64只多出30只脚。
如果把这30只脚考虑成是兔子的前脚，那么兔子就有15（30÷2）只。
所以剩下的17只是野鸡。
从此以后，在日本有青蛙、犬、鸟等各种各样的动物陆续登场，最后好像一直到19世纪
前期（江户末期）定为鹤和龟了。
（图略）
（提高能力）
2次方程式的题解和公式
相加是13、相乘是36的两个数字是什么数？咋一看好像很难似的，其实很简单。用＇急转弯＇，首先我们考虑一下2次方程式ax2 ＋ bx ＋ c（a≠0）的解的公式。
把C移到右边、再用a除以两边。
（算式省略）
由于想做成平方的形式，要在两边加上（算式省略）。
（算式省略）
把左边变为平方的形式、就是
（算式省略）
根据这个算式，2次方程式ax2 ＋ bx ＋ c的2个解是、相加是（算式省略）、相乘是（算式省
略）。
也就是说开头的问题，相加是13、相乘是36的两个数字只要把2次方程式ax2 ＋ bx ＋ c解
开就行。从上列公式我们算出
X=4、9
本来这道题在使用解题公式前如果用因式分解来解题是最简单的。
x2 －13x ＋ 36 = （x－4）（x－9） = 0
2、配错了的浓度是多少？ 15分
问题
把20％的糖水和30％糖水混在一起，想配成24％的糖水，可是一不小心把比例弄反了。
请问配错了的糖水的浓度是多少？
（图略）
提示
本来打算配制的比例是多少？
解题 配错了的浓度是多少？
（图略）
本来打算配制的比例是
20％的糖水的量：30％糖水大量
=（24…20）：（30…24）
=2：3
把配错了的糖水设为x％
本来应该按2：3配制，结果配制成了3：2。所以
（x…20）：（30…x）=3：2
因此 x=26
答案 26％
3、球的大小 15分
问题
想把两个同样大的排球装在圆柱形的箱子里，装进去一看，像下图那样正好装满。圆柱
的底边直径为32cm，高为36cm
那么球的半径是多少cm呢？
（图略）
提示
画一个通过两个球的圆心和圆柱的中心线的平行断面图看看。
解题 球的大小
像下图这样画出通过两个球的圆心和圆柱的中心线的平行断面图。
（图略）
设球的半径为r（cm）
AB=2r
AC=36…2r
BC=32…2r
根据勾股的定理
（算式省略）
因此
（算式省略）
整理上式为
（算式省略）
由于 r小于32（圆柱的底边），所以
r=10（cm）
答案 球的半径为10cm
4、最大的积是多少？ 15分
问题
组合从0到9的数字，请排列出两组最大的积。每个数字只能用一次。
提示
两组数之和为一定时，两组数的差越小，其积也就越大。那么我们设两个组数分别为
a＋b、a…b、就会得出
（a＋b）（a…b）=a2－b2
所以可以得知 b=0时的积最大。
解题 最大的积是多少？
两组数的第一位数是9和8的情况下，两组数的差最小，积也最大。
下一位数是6和7，如果和9和8组合在一起，即 96和87。这两组数的差最小，积也最大。
（96…87=9、97…86=11）
同样，把接下来的位数4和5像964、875这样组合，两组数的差最小，积也最大。
再把下一位的数2和3像9642、8753那样组合，两组数的差最小，积也最大。
把最后的0和1也像96420、87531这样组合，由于两组数的差最小，所以积也就最大。
这就是我们想要的答案。
答案 96420和87531
5、同时打开 20分
问题
水槽上安装着3个水龙头。第1个龙头打开10分钟、第2个龙头打开15分钟、第3个龙头
打开30分钟后水槽里的水流完。
那么请问，如果把3个水龙头同时打开，经过几分钟水槽会空呢？
提示 注意每个龙头1分钟的流量。
解题 同时打开
设水槽里的水量为V，把第1个龙头、第2个龙头、第3个龙头打开时1分钟的流量分别设
为V1、V2、V3 于是有：
（算式省略）
设打开3个龙头后，水槽里的水流完的时间为t 于是
（算式省略）
答案 5分钟
第二部分第2节
6、牧草是边吃边长的 30分
问题
这是牛顿（1642～1727）想出来的问题。
把9头牛放牧在2英亩的牧场上，16天把牧草吃光。又把18头牛放牧在3英亩的牧场上，10天把牧草吃光。
那么请问，把35头牛放牧在5英亩的牧场上，多少天能把牧草吃光？
关于面积单位，我们假定放牧前牧草的量和每天牧草生长的量相同。并且每头牛每天吃
的牧草的数量也相同。
（图略）
提示
虽然用单纯的比例计算就可以求出结果，但是牧草在被吃掉的同时也是生长的，所以不是那么简单哪。
解题 牧草是边吃边长的
设在1英亩牧场里放牧前所生长的牧草量为u、每天生长的牧草量为v、一头牛每天吃
的牧草量为w， 那么
2u＋16×2v=16×9w ……①
3u＋10×3v=10×18w ……②
根据①x3…②x2、36v=72w 所以 v=2w
代入算式①， u=40w
那么我们把所求的天数设为t
5u＋tx5v=tx35w
把 v=2w、u=40w 代入算式
200w＋10tw=35tw
所以 t=8天
答案 8天
小知识
万有引力的发明者、微积分的创始人牛顿，非常喜欢猫咪。为了让猫咪出入自由，牛顿
在家里到处开了好多通道口。
猫咪在生小猫的时候，牛顿高兴极了。他让男仆在猫妈妈的通道口旁边开一些小洞。男
仆不明白为什么开这些小的洞，牛顿非常认真地“是小猫的通道口呀”。
7、13 ＋ 23 ＋ 33 ＋ …等于多少？ 30分
问题
（算式省略）
那么，（算式省略）等于多少呢？
提示
请注意n的立方可以用n个连续奇数的和表示。（例如：3的立方是3个连续奇数7、9、11之
和）
解题 13 ＋ 23 ＋ 33 ＋ …等于多少？
n的立方可以用n个连续奇数的和表示，也就是说 算式13 ＋ 23 ＋ 33 ＋ …＋n3是从1开始的（1＋2＋ … ＋n）个连续奇数的和。
因此，算式13 ＋ 23 ＋ 33 ＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103等于（由于1～10的和=55）从1开始的55个连续奇数的和。从1开始到第55个奇数是
2n…1=2×55…1
从1开始到第n个奇数之和是根据右图等于n的平方。
所以
（算式省略）
（图略）
答案 3025
小知识
（算式省略）
所以，一般来说（1 ＋2 ＋ …＋n）2 =13＋23＋ …＋n3
4、钟表的篇章
“钟表篇”的功能
钟表是智力题的代表道具。
看了雅孝司著的＇令人爱不释手的直觉智力测验＇（中经出版）一书，
恐怕计算＇两根表针一天重合几次＇的人们总计也有几亿人吧？
如果是那样的话，我们也不能越过不提吧。这真是了不起的老调
新唱。
利用钟表所出的问题虽然不是很难，但是对刺激数字的感觉、逻辑性的思考能力、灵活
的想象力等却是个绝好的问题。
1、 所有的表都不准 5分
问题
在收音机报12点时，我确认了家里的表正确之后就出去散步了。
途中看见教会的大钟是12点14分。
到了目的地书店，那里的表是12点32分。
用8分钟买完东西，回来的路上教会的大钟是1点02分，到家的时候是1点14分。
由于来回走的速度都一样，所以，教会的大钟和书店的表好像都不准。
那么请问，教会的大钟和书店的表分别差几分钟呢？
（图略）
提示
用往返时间来思考。
解题 所有的表都不准
从家到教会往返用了26分（14分＋12分）。由于走的速度相同，本来应该是来去都应该各
用13分。由于教会的大钟在去时用了14分，所以教会的大钟快1分钟（请确认一下回来时前
后是否符合）
从教会到书店往返用了40分（18＋22）。由于走的速度相同，本来应该是来去都应该各用
20分。由于书店的表在去时用了18分，所以和教会的大钟比书店的表慢了2分。
由于教会的大钟快1分钟，所以我们得出书店的表比正确的时间慢1分。
请确认一下整个路程的前后是否符合。
（14分） （18分）
往 12：00》12：14》12：32
家 教会 书店
（图略）
返 13：14 （12分） （22分）
答案
教会的大钟：快1分钟
书店的表 ：慢1分钟
