数学新干线-第2章
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问题
听说祖父家的波丝猫生了好多小猫,喜欢猫的我兴高采烈的来到祖父家。
可是,只剩下1只小猫了。
'一共生了几只小猫呀?'
'猜猜看,要是猜中了,就把剩下的这只小猫给你。附近的宠物店听说以后,马上来买走
了所有小猫的一半和半只'
'半只?'
'是啊。然后呢,邻居家的老奶奶无论如何想要,所以就把剩下的小猫的一半和另外半只
给了她,这就是只剩下1只的原因。那么你想想看,一共生了几只小猫呢?'
(图略)
解题 半只小猫
虽然是宠物店也不会买半只小猫吧,所以我们可以设定小猫的数量(设为m)是
奇数(m=2n…1),用'一半和半只'做为整数来算。
由于宠物店'买走了所有的小猫的一半和半只',所以算式为
(2n-1)-'(2n…1)/2 +1/2' = n-1
然后,因为邻居家的老奶奶拿走了'剩下的小猫的一半和另外半只',剩余1只小猫了。所以:
(n-1) -'(n-1)/2 + 1/2' = 1
解上述算式n=4
所以,新出生的小猫是 m=2n…1=7(只)
宠物店拿走4只,邻居家的老奶奶拿走2只,还有剩下的1只。
答案
7只
2、整数之美篇章
“整数之美”的功能
整数的问题是所有数学问题的基点,是培养对数字的感观认识
的。解这些题是需要一点点试着看的。在反复推敲的过程中,就会
得到系统性的、效率性的要领。在接受反复失败的同时,也锻炼了
富有逻辑性的思考问题的能力。
高斯曾经说过“整数是数学的女王”。请看下面的例子, 你会感受到他的论点的真实
性。
(算式图省略)
1、 一张变二张、二张变四张 5分
问题
“请看我手里拿着的这把刀,这可不是那种切了头切不了尾,切了前面切不了后面的刀。正如您所看到的这样,刀出鞘时寒光凛凛,咄咄逼人哪。切一张纸给您瞧瞧。看着啊,
一张纸切成两张、两张纸成四张、四张成八张、八张成十六张、十六张成三十二张、六
十四张、一百二十八张。就好像春季三月的落花、奈良晚冬的瑞雪。瞧一瞧、看一看啊
即使是这样快的利刀,在刀刃的两面涂上癞哈蟆油的话看看怎么样啦?一张纸也切不断了。对,您看,就是这样。横着切不断、竖着切也不断、平着切还是切不断。那么把它擦下
去以后会是什么样的结果呢?一寸厚的铁板马上就变成两半儿了。看看,只是用手碰一下,
手就被切成这样了。不过您再看看,像这样的伤口什么都不需要,只要涂上一点点癞哈蟆
油马上就不疼了,血也立刻止住。请瞧一瞧、看一看……”
那么,卖癞哈蟆油的切多少回纸片能超过3万张?
提示
计算的时候超过想象的增长速度会让你大吃一惊的。
解题 一张变二张、二张变四张
第1回 (算式省略)= 2张 第8回 (算式省略)= 256张
第2回 (算式省略)= 4张 第9回 (算式省略)= 512张
第3回 (算式省略)= 8张 第10回 (算式省略)= 1024张
第4回 (算式省略)= 16张 第11回 (算式省略)= 2048张
第5回 (算式省略)= 32张 第12回 (算式省略)= 4096张
第6回 (算式省略)= 64张 第13回 (算式省略)= 8192张
第7回 (算式省略)=128张 第14回 (算式省略)=16384张
第15回 (算式省略)=32768张
答案 15回
小知识
把这种成倍增长的计算方法叫“积算”。其典型的例子是“老鼠计算法”。
“老鼠计算法”的出处来自于:“在一月份的一对(雌雄2只)老鼠,每个月生六对(雌雄12只)小老鼠,假设小老鼠长一个月后也是每个月生六对(雌雄12只)小老鼠,到年末总共有多少只老鼠?”
这是多么宏大的数字啊。
712×2=27682574402只
也就是说一共有(276亿8257万4402只)
1月末 (1+1×6)对×2只=71×2只
2月末 (7+7×6)对×2只 = 7×(1+6)×2=72×2只
12月末 712×2只
2、1+2=3、 4+5+6=7+8 5分
问题
1+2=3
4+5+6=7+8
9+10+11+12=13+14+15
上面的算式还真的很有意思啊。那么让我们想想后面的算式如何排列呢?
提示
注意左边最初的同类项及左、右两边同类项的数值。
解题 1+2=3、 4+5+6=7+8
注意到左边最初的同类项是n2这一点很重要。由于左边的同类项数是n+1、
右边的同类项数是n,所以
n2 + (n2+1) + … +(n2+n)
=(n2+n+1) = (n2+n+2)+ … +(n2+n+n)
接下来的算式是n=4和5时
16+17+18+19+20=21+22+23+24
25+26+27+28+29+30=31+32+33+34+35
答案
16+17+18+19+20=21+22+23+24
25+26+27+28+29+30=31+32+33+34+35
3、 32 + 42 = 52 15分
问题
102 + 112 + 122是两个相连的整数平方的和,请求出其整数。
102 + 112 + 122 = □2 + ○2
提示
把连着的整数设为未知数,关键是怎样设置。
解 32 + 42 = 52
把相连的小的整数设为11+n(但是n≥1)。
根据题意
(算式省略)
把上列算式整理为
(算式省略)
所以(算式省略)
解上列算式为
(n…2)(n+25)=0
由于(算式省略)、所以 n=2
因此,所求的整数是 11+n=13和11+n+1=14
所以 (算式省略)
答案
(算式省略)
小知识
有趣的数字
(算式省略)
4、十字之和 30分
问题
请把从1到9的数字填写到下图的十字架中,使横、竖的数字之和相同。每个数字只能用
一次。
(图略)
提示
横、竖的数字之和是多少,十字架中间的数字最关键。
接下来需要反复把数字填进去试,找到整数的对称性就简单了。
答案不只1个。
解题 十字之和
我们设横、竖的数字之和为S,十字架中间的数字为X(横、竖计算时都加算X)
(算式省略)
由于S是整数,所以45+X需要用2去除。也就是说X是奇数。(45+奇数=偶数)。
X=1时S=23、X=3时S=24、X=5时S=25、X=7时S=26、X=9时S=27。余下的数字自己试着填上就可以了。
答案
(图略)
第二部分第1节
5、三角形各边之和 30分
问题
请把从1到9的数字填进下图的三角形里,使每边数字的和都等于23。但是每个数字只能
使用一次。
提示
和前一道题的十字架中间的数字被重复计算一样,这道题是三角形顶角的数字被重复
计算,
答案不只1个。
解 三角形各边之和
我们设三角形各边数字之和为S,各顶角的数字依次为X,Y,Z(顶角的数字X,Y,Z被两个边重复使用。)
(算式省略)
因为 S=23,那么根据上列算式得出 X+Y+Z=24。所以可以确定 X=7、Y=8、Z=9。
8和9之间的另外两个数字的和应该是6,得6的数字是4和2、5和1这两种组合。
答案
(图略)
6、巧填奇数 20分
问题
把从1到9的数字(每个数字只能使用一次)填进3×3的方形矩阵内,使横、竖、斜线数字
之和都相等,这是很普通的矩阵数字游戏。那么,请把从1到17的奇数(每个数字只能使用一次)填进下图的3×3方形矩阵内。
提示
填在中间的格子里的数字是关键
解题 巧填奇数
把横、竖、斜线数字之和设为S,每个格子里的数字如图所示
A B C
D E F
G H I
3S=(A+B+C)+(D+E+F)+(G+H+I)=81
所以 S=27
把中间的格子里的E算在内,其和为
A+E+I=27 B+E+H=27 C+E+H=27 D+E+F=27
因此 A+B+C+D+E+F+G+H+I+3E=27x4
81+3E=108
所以 E=9
然后再按照(算式省略)算式把数字试着填进格子里,定下来17、15、13的位置。
答案
15 5 7
1 9 17
11 13 3
如右图(图略),偶数的方形矩阵也很简单。此例题例举了0到16的偶数(0也是偶数)
14 0 10
4 8 12
6 16 2
7、难画也要画 15分
问题
请使用圆规和格尺把√2、√3、√4、√5标在一条直线上。
(图略)
提示
留意正方形的对角线。
解题 难画也要画
边长为1的正方形的对角线长度,根据勾股定理,应该等于√2。
即算式为 (12 + 12 = √22)
那么,长是1、宽是√2的长方形的对角线的长度、根据勾股定理应该等于√2。算式为
(算式省略)
那么,√5的长度也可以用同样的方法算出来。
答:
(图略)
小知识
如果不是在一条直线上,像下图那样用格尺也可以做成无理数。
(图略)
3、方程式的篇章
“方程式”的功能
在希腊的几何学中心,第欧范德斯)(246?330?)在研究方程式
上面为后人留下宝贵的财富。人们为了歌颂他的丰功伟绩,在他的
墓碑上竟然刻着最古老的方程式的问题。
第欧范德斯生涯的6分之1在少年、12分之1在青年、又经过7分
之1后结了婚。结婚5年后有一个孩子,但是这个孩子在父亲去世的
4年前也就是父亲生涯的一半时去世了。
设第欧范德斯在X岁时去世
算式为: (算式省略)
X=84岁。 这个问题决不是什么难题吧。
在本章里所列出的方程式和这个问题同样,都是中学1、2年级的水平,决没有使用高难度的定理。可以说是算数的延伸。
然而,掌握思考的能力是非常有用的,逻辑性的思考是方程式的生命。
1、墨斗鱼、章鱼和海星各有几只