天才设题,智者解题-第3章

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的一边的长度。在已知三角形三边长度的情况下，也可以利用余弦定律来计算三个角的大小。（你在下文就会看到如何绕开这个公式。）　在第一个问题里，骨头的长度与圆的半径相同，因此，　L　＝　R　，角　OPQ　为等边三角形，　OP=PQ=R　。利用余弦定律，我们可以计算出　cos　（　a　）＝　1/2　，　a　＝　π　/3。由此可见，概率时2π/3除以2π，结果为1/3。如果你扔出一根骨头，让其一端恰好落在外星人画的圆上且另一端落在圆内的机会为33％。多萝茜给这个外星人起了个名字，叫33％。　当然喽，要解开这道题，我们不一定非用余弦定律不可。假如你看出　OPQ　是个等边三角形，你就知道　a　＝　60　°　，或者，　a　＝π　/3×半径。　假如骨头的长度　L　＝　2R　，经过计算，　cos　（　a　）＝　1　，　a　＝　0　。由此可见，假如骨头是一根长度为　2R　的线段（　2R　为圆的直径），让骨头的一端刚好落在圆上，且另一端落在圆内的概率为　0　。假如骨头的长度为　R/2　，那么，　cos　（　a　）＝　1/4　，概率为（　1/4　）的反余弦除以　π，等于　0。4196。注意，较短的骨头的另一端落在圆内的概率要大于长度为R的骨头。　余弦定律十分神奇，可以应用于多种实际情况。在涉及到向量的众多物理问题中，都可以运用余弦定律，比如，计算掠射碰撞中代表不同物体的两个矢量之差（见图　F14。2）。　这里还有另一个实例，可以帮助我们理解余弦定律是如何有效地解决问题的。假设，多萝茜要从现在所站的地方到奥兹博士的测试机构去，她必须骑上自行车，先向正东骑行　10公里，再向东北方向（北偏东45　°　）骑行　5公里（如图F14。3所示）。外星人想研究一下，它们是否应该铺一条黄砖路，从多萝茜所在的地方直接通到奥兹博士的测试机构。这条路建成后，多萝茜可以少走多少路？　　F14。2　余弦定律适用于矢量：要解答这个问题，我们可以先画出多萝茜目前的行走路线。由于我们知道　a　，　b　两边的值，也知道这两边的夹角的度数，就可以利用余弦定律来计算黄砖路的长度：　c　2　＝　a　2　＋　b　2　－　2abcos　（θ）　＝（　10　㎞）　2　＋（　5　㎞）　2　－　2　（　10　㎞）（　5　㎞）　cos　（　135　）　＝　100km　2　＋　25km　2　－　100　（－　0。707　）　km　2　＝　125km　2　＋　70。71km　2　＝　195。71km　2　求　195。71　平方公里的平方根，我们就可以得到大致的答案，　c　＝　14　公里。由于原来的道路厂　15　公里，那么多萝茜走新路可以少走　1　公里。　F14。3　余弦定律的应用（图中文字：待建的新路）


第一章　设题与解答腿骨头碎片组成三角形（题）

　　　　智者解决难题，天才提供难题。　　　　
　　　　——阿尔伯特·爱因斯坦　　　　
　　　　多萝茜，托托和奥兹博士正费力地穿过沼泽地，突然他们看见了骨头人，这个他们早先（第八题）遇到过的灰白色的动物。　　　　
　　　　“你好，”他用那他那原始的说话器官说道。他小心地把他的尖爪字移到托托的胸前。　　　　
　　　　“放开他，骨头人！”　　　　
　　　　骨头人用毛巾搽了搽他用爪子从托托身上抓下的几根毛发，然后把它们放到嘴边，它笑起来，露出一口尖尖的牙齿。　　　　
　　　　“我又给你出了一道难题。跟我来。”他是惊人地白，惊人地光滑。他的头和肚子使他看起来就象他是用漂白的骨头雕刻出来似的。　　　　
　　　　他们走到干干的地面上来了，骨头人抓出一个他放在树后的一个腿骨头。“想象这个骨头有N条长腿，”他说，然后他把腿任意的三段。　　　　
　　　　“多萝茜，这三段放在一起能形成几个什么样的三角形？”　　　　
　　　　“这对她来说太难了点，”　奥兹博士说道。　　　　
　　　　多萝茜摸了摸屁股，说：“不，这不难。”　　　　
　　　　骨头人点点头。“下面是这个难题的第二部分，我给你一段刚刚折断的最长的一段。如果你是一个赌博者，那么在每一个折断的骨头中，最长的一段与最短的一段的最大比值是多少？你是如何知道的？”　　　　
　　　　难度：！！！　　　　
　　　　


第一章　设题与解答腿骨头碎片组成三角形（答）

　　　　两处断裂点必须分别位于中点的两侧，三段碎片才能组成一个三角形。如果你想不通这一点，可以画几张草图试试看。假如两个断裂点都位于中点的同一侧，那么在组成三角形时，两条短边就无法相接。在出现一个断裂点之后，另一个断裂点位于中点另一侧的机会是1/2。此外，我们还得考虑另一个条件。要形成一个三角形，每一段碎片的长度均不得超过骨头长度的一半。如果想不明白这个道理，可以再画几张草图。满足这第二个条件的概率也是1/2。要确定这道题目最终的概率，可以把上面两个概率相乘，结果为1/4。因此，骨头人用骨头碎片摆成三角形的机会是1/4。（有些读者可能会想到三角形不等式定理——三角形任意两边长度之和大于第三边。）　　　　
　　　　关于第二个问题，奥兹博士也给不出答案，欢迎读者来信告诉我们答案。罗伯特·斯特朗博士指出，最短碎片与最长碎片的长度之比的预期值没有有效答案，原因可以参见第8题的答案。这个比例并非有界函数。但是，可以用数学方法来表示最短者与最长者长度之比的预期值。　　　　
　　　　


第一章　设题与解答复数在哪儿？（题）

　　　　我们接近真理不是通过什么原理而是发自内心。　　　　
　　　　——布莱斯·帕斯卡，《沉思录》　（1670）　　　　
　　　　奥兹博士正在同托托一起玩耍，喂给它吃一种鱿鱼状的狗饼干。“多萝茜，今天，我要你找到一万个连续的非质数。你找到它们以后，再告诉我你是如何找到的。”　　　　
　　　　多萝茜抓过托托，后退了几步，说“这个排列太大了。我难道不需要一台电脑来解决这个难题吗？”　　　　
　　　　“不需要电脑，只要你给我一个如何找到这一万个数字的简单的诀窍就可以了。还要我提醒你一个质数是不能被2或2以上的整数整除的数吗？例如，6是3的2倍，所以它不是质数。6是非质数，或者说是复数。再如，7不能被2或2以上的整数整除，所以7是质数。”　　　　
　　　　“奥兹博士，你今天可真罗嗦。”　　　　
　　　　他点点头。“这是从最小的质数开始排列的数字：2，3，5，5，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59等。注意这些前后两个质数之间的差。例如，在这靠前的一些质数之间的差分别是1，2，2，4，2，2，4，2，2，4，6，2，6，4，2，4，6，6，…希腊数学家欧几里得证明了存在一个无穷大的质数。但是，这些质数的出现是按照一种不规则的顺序出现的，并且没有一个公式能够概括他们。因此，巨大的质数的发现要求进行概括并测试上百万的数字。”　　　　
　　　　奥兹博士把一块狗饼干塞进他唾沫横飞的嘴巴。“用这个关于质数和非质数的例子，你的使命是找到一万个连续的非质数。你将怎么找到它们？”　　　　
　　　　难度系数：！！！　　　　　
　　　　


第一章　设题与解答复数在哪儿？（答）

　　　　多萝茜究竟应该怎样回答这个问题呢？靠铅笔和几张纸来找出10；000个连续的非质数，可真够难的！关于质数的分布情况，我们都知道些什么呢？　　　　
　　　　·　　寻找质数的方法之一是利用古老的厄拉多塞筛法。先列出一些正数，然后从4开始，删除其中所有的2的倍数。接下来，从6开始，删除其中所有的3的倍数。重复这一过程，直到将所有复数都删除掉。（将厄拉多塞筛法应用于计算机，是评估和比较计算机优劣的一种传统方法，因为这一过程十分漫长，而且计算量很大。）　　　　
　　　　·　　质数定理指出，小于n的质数的数目大致为n/（㏑n）。卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初最先提出了这条定理，后来，雅克·阿达玛和查尔斯·德·拉·瓦莱·普桑于1896年分别独立证明了这条定理。两人的论证都依靠复杂的分析，而且在当年，也没有人曾经想到过，可以用比较简单的方式来证明这条定理。1949年，艾特尔·塞尔贝格和保罗·埃尔多斯提出了质数定理的另一条证明，整个数学界为之震动。巧的是，从质数定理可以推导出另一条相关定理：在大于1的任何数字与其两倍数之间，必然存在至少一个质数。根据质数定理，可以知道小于n的质数之间的平均“差”为In（n）。＇以最小的几个质数为例：2，3，5，7，11，13，你会注意到，连续质数之差为：1，2，2，4，2。＇　　　　
　　　　·　　几百年来，数学家们一直试图找出质数的基础模式。或许，质数根本就不存在什么模式。有些质数成队出现，中间只相隔一个偶数，这些质数被称为孪生质数，比如：（3，5），（5，7），（11，13），（17，19），（29，31）。数学界有个由来已久的猜想，认为孪生质数的数目是无穷多的。到目前为止，还没有人能够证明或反驳这个猜想。（注意，孪生质数之差为2，这是最小的质数之差。如果两个数的差为1，那么其中一个数必定是偶数，可以被2整除。）有朝一日，我们能不能借助一个方便的公式来找到所的质数，让公式来计算一下到底有多少个质数呢？　　　　
　　　　以上这些林林总总的资料能够帮助我们回答多萝茜的问题吗？或许可以，多萝茜要找到10；000个质数，还有一种比较简单的方法。　　　　
　　　　“简单”答案之一是10；000！＋210；001！＋3……10；001！＋10；001，其中！代表阶乘符号。（比如，5！=5×4×3×2×1）。当A＞1且A≤n时，由于n！＋A可以被A整除，该序列为非质数，即复数。让我们来举个例子。当n=5且A=3时，n！＋A=（5×4×3×2×1）＋3。这个数字的阶乘部分包含了1至n的全部因数，因此必然可以被3整除。其第二部分显然也可以被3整除。同样，如果A=4，计算结果120＋4也可以被4整除。　　　　
　　　　我们的“简单”答案应该可以让外星人满意了，但问题所问的并不是以10；000为最小值的一连串数字。要找出10；000个连续的最小复数，我也不知道有什么简单的方法。　　　　
　　　　既然说到了质数问题，我就忍不住要提到蝉。这种昆虫在地下呆上7年、13年或17年，然后化为成虫，破土而出，享受生命的最后几个星期。进化的力量是如何让蝉蛰居地下的年头成为质数的，已经成为当前的研究重点。近年来的数学模拟显示，质数时间可以让蝉避开掠食者。数论在帮助人们了解生物学的过程中竟然发挥了如此重要的作用，真是不可思议！关于这方面的详细论述，请参见A。M。S。，《生物模式中的质数》，《科学》第293卷第5528期（2001年7月13日出版），第177页。　　　　
　　　　


第一章　设题与解答古怪的瓦片（题）

　　　　人是一种有智慧的动物，器官为人服务，而人则充当器官的奴隶　——奥尔德斯·赫胥黎　奥兹博士和多萝茜在堪萨斯东南部的麋鹿城湖上划船。他指着水面说：“看啊，湖水鸡。”　“加拿大鹅，”多萝茜反驳说。她看见当外来运输装置的影子使天空暗下来时，一些鹅飞起来。而后，她更近地看着湖面。“我在这里钓鱼，”她说到，“在你来到我们这个世界之前。”　奥兹博士点点头说：“那些鹅都吃些什么