天才设题,智者解题-第2章

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　　　　奥兹博士示意多萝茜跟着自己。“多萝茜，在我们面前的是一个秘密测试机构，地点就在堪萨斯的勒贝农，靠近内布拉斯加边界。”　　　　
　　　　“躲我远点儿，你这个坏蛋！”　　　　
　　　　多萝茜嘴里这样说，眼睛却被面前这座八边形大楼高大的翡翠色外墙吸引住了。奥兹博士看在眼里，微微一笑，说道：“我们管这个地方叫做奥兹。”　　　　
　　　　托托一动也不动，就像是被冻僵了。它身上的毛一根根竖着，可见它冷得要命。　　　　
　　　　“我的小狗！你都对它干了些什么？”　　　　
　　　　奥兹博士摆动了一下他的触角，托托就活过来了，一下子跳进多萝茜张开的手臂。　　　　
　　　　几分钟以后，多萝茜来到这座非常现代化的大楼门前。她回头望了望远方的田野。风从遥远的北方吹来，风声呜咽，暴风雨就要来了，可以看到高高的野草被风压弯了腰。尖利的呼啸声划过大地。这真的是风声吗，还是因为远处隐藏着什么怪物？　　　　
　　　　奥兹博士伸出一根长长的触角，碰了碰多萝茜纤细的肩头，示意她跟紧些。考试开始了。　　　　
　　　　


序序言

　　　　拿起铅笔，放松一下，惊心动魄的旅程就要开始了！著名作家克利福德·皮科夫、多萝茜和奥兹博士将带领你漫游数学、头脑和逻辑的王国，去解开最古怪离奇的谜团和最曲折晦涩的难题，去探索数学世界的颠峰和幽谷。《神奇的数学》将为你开启想象的大门，快准备好，你就要踏上一次震撼之旅。这里有令人费解的谜题和五花八门的数学题，比如，斑马数，循环质数，还有群数——一个大得足以让10000亿变得毫不起眼儿的天文数字。奇异的谜团，古怪的推理，让人摸不到头脑的逻辑问题，无论你是否了解数学，都可以在这本书里找到乐趣。　　　　
　　　　即便是最自负的数学迷，面对神秘兮兮的奥兹博士提出的人类智力测验题，也会感到力不从心。用这些博杂的题目来测测你的智商如何——几何与迷宫，序列，级数，集合，排列，概率与误导，数论，算术，其中甚至还有几道问题涉及到现实世界。本书图文并茂，创意新颖，妙趣横生，从独特的角度阐述了数字以及数字在创造力、计算机、游戏和实际研究中的作用。作者在逻辑与荒诞之间，挥洒奇思妙想。《神奇的数学》将让你品尝挫折的苦涩，更可以激发起你对数学的浓厚兴趣，让你乐此不疲。　　　　
　　　　克利福德·皮科夫，耶鲁大学博士，已出版著作２０余部，深受好评，作品内容涉及计算机与创造力，艺术，数学，宇宙黑洞，人类行为与智力，时间旅行，外星生命，以及科幻小说等诸多领域。其个人网站Ｈｔｔｐ／／ｗｗｗ．ｐｉｃｋｏｖｅｒ．ｃｏｍ，访问量已超过５０万人次。　　　　
　　　　


第一章　设题与解答平方和立方（题）

　　　　“请原谅，”稻草人回过头来，“我的大脑有些糊涂了，最近我被水给淋湿了。我问你一个问题你不介意吧，你名字后面的“T。E。”两个字母表示什么意思？”　　　　
　　　　“这两个字母表示我的学位，”橡皮虫回答道，带着谦逊的微笑。“更清楚点说，这两个大写字母表示我是个受过高等教育的人。”　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——《绿野仙踪》　　　　
　　　　多萝茜和奥兹博士沿着米尔克福德湖岸边走着，这是堪萨斯洲最大的湖之一。奥兹博士跳进湖里打湿他橡胶似的有弹力的皮肤。当他再上岸时，他看上去精神多了，也欢快多了。　　　　
　　　　“多萝茜，我前面的问题是关于平方和立方数字的，你看上去很感兴趣。我又有一个问题也是关于这些数字的。”　　　　
　　　　多萝茜把一块石头朝湖里扔去，说道：“请便吧！”　　　　
　　　　“找出三个不同整数，它们的平方和等于一个数的立方，并且它们的立方和等于一个数的平方。”　　　　
　　　　多萝茜盯着湖水，她开始试图找出这三个数字。她试了试，比如，1、2、3。它们的平方和是12＋22＋32=14。但可惜的是，14不是一个数的立方，所以1、2、3不符合奥兹博士提出的第一个条件，它们的平方和不等于一个数的立方。这个问题看来对多萝茜有点难度。有什么解决办法吗？　　　　
　　　　　难度系数：！！　　　　
　　　　


第一章　设题与解答平方和立方（答）

　　　　可恶的奥兹博士让我们找出3个整数，x，y，z：　　　　
　　　　1）x　²；＋y　²；＋z　²；＝N³；　　　　
　　　　2）x³；＋y³；＋z³；＝M　²；　　　　
　　　　要解答此题，先要简化这两个方程式，以便减少变量。比如。我们可以用　　　（－a，0，a）来试着解题。这3个数字满足方程式2，由此可以得到，－a³；＋a³；＝M²；，M＝0。关于整数a的数值，我们很快就会发现一组数字可以满足方程式1，即，－2²；＋0²；＋2²；＝2³；。由此可知，z＝－2，y＝0，z＝2。这道题是否有无穷多个答案？如何利用计算机图表来最清晰地显示出解空间？）　　　　
　　　　a1k＋a2k＋……＋amk＝b1k＋b2k＋……＋bnk　　　　
　　　　其中，a1≥a2≥……≥am　；b1≥b2≥……≥bnk　；　a1＞1；m≤n　。　　　　
　　　　这个方程式曾经让我着迷了很长时间。方程式中的k、m、m以及ai、bj两项都是正整数。你有没有想过，a16＋a26＋a36＝b16＋b26＋b36有解吗？有志于在这个领域做出新发现的读者肯定会对“欧拉网络”项目感兴趣，这是一个大型网络研究项目，分门别类地记录了此类方程式的所有已知最小答案。比如，项目组成员努蒂·库萨在2001年发现：　　　　
　　　　13077＋8577＋6187＋4007＝11847＋11337＋10307＋4237　　　　
　　　　这几个数字的总和为6；890；807；721；574；272；667；868。要了解更多进展，请参见让－查尔斯·梅里纳克所著的《计算最小的相等同次幂之和》，euler。free。fr/index。htm。为了寻找新的答案，已经进行了数千小时的计算机运算。　　　　
　　　　下面再让我们来想一想，大多数正整数都可以用3个平方之和来表示。比如，9＋9＋9＝27，16＋1＋1＝18。你能找出一个无法用三个或两个平方之和来表示的正整数吗？比如，哪些数字至少要分解为4个平方之和？早在1770年，法国数学家约瑟夫－路易·拉格朗日就证明，每一个正整数要么是其自身的平方，要么是两个、三个或四个平方之和。这方面的详细资料，可以参见伊文思·彼得森所著的《神奇的平方》，载于《科学新闻》，第159卷第24期（2001年6月16日出版），第382至383页。　　　　
　　　　澳大利亚维多利亚州的朗·斯塔伯斯日前向我发出挑战，让我找出可以解开下面这个方程的正整数：　　　　
　　　　An＋B2=C2　　　　
　　　　答案有两个：76＋84002＝84072，67＋233252＝233312。你能再找出几组答案吗？你的答案是否小于我给出的答案？　　　　
　　　　


第一章　设题与解答U　结构（题）

　　　　他的父亲宣称　“　只有科学家才真正懂得音乐　”　，但也不仅仅是科学家，噢，不是，事实上，仅仅是理论家，他的语言是数学。　她不明白数学直到他给她解释那是具有相互联系的象征性语言。“而且，那些联系”，他告诉她，“包含着生活的本质意义。”　——泊尔·　S。　巴克，《女神驻足》　　　　多萝茜正在使劲地嚼着几块托托　's　的有营养的狗饼干，因为奥兹博士不给她主够的人吃的食物，除非她解决了台阶里的难题（图　13。1　）　“多萝茜，把你的食品放下，”奥兹博士说，“这个有关台阶和悬崖的难度很大的排列被称为　U　结构　，它是以担轮幼虫　U　的名字命名的，　它能够在一个小时内解决这个问题。如果你正确地按照我给你的指令做，我会给你非常好吃的细牛排，要不就是寿司，随你怎么选择。你必须尽可能地踩在　U　结构的木板上，但不能在同一块木板上踩两次。你可以在高度相邻的两个木板之间上下踩（只要你来回踩的这两个台阶位于同一边线上）或者在同一水平线上的相邻的木板之间踩。我不许你走对角线。”　多萝茜放下饼干，点了点头。“好的，我会在我能走的台阶上走的。不过，我必须说，你是一个残忍的监工。”　“等等！还有两个特殊条件。你必须按照这个顺序捡起夹子、头盔和绳子！木板上有油，很滑溜。你要是走错一步，你就死定了。”　“噢，你这笨蛋！”　“记住，你必须按照我的规则尽可能地走最多的木板！”　难度系数：　！　！


第一章　设题与解答U　结构（答）

　　　　图　F13。1　画出了一条解题路线，只有　5　块木板没有被踩到。你能做得更好吗？　F13。1　u　结构的答案（布赖恩·曼斯菲尔德绘制）


第一章　设题与解答扔骨头（题）

　　　　“　你只有习惯了生活中所有的事情，它们才是平常的，”稻草人回答说。　“多么伟大的哲学啊！”橡皮虫充满敬佩地大声叫道。　“是的，我的脑子今天很好用，”稻草人用他那充满骄傲的声音承认了这一点。　——《奥兹仙境》　多萝茜、托托和奥兹博士在测试设备外面，他们沿着一条脏脏的道路走着。树木变得越来越多，很快，道路两边的树林就神秘地变黑了。多萝茜看见了清澈的溪流，奥兹博士同意让她停下来喝一口。　突然，一个陌生人走到她跟前以　R　为半径在地上划了一个圆，同时递给她一根瘦瘦的腿骨头。　“我想让你把一个长度为　R　的骨头扔到圆圈里，”这个两面讨好的人说道，“骨头的一端是圆的边缘，但骨头的方向是完全任意的。”　“我不干这种恶心的事情！”　多萝茜回答说。　“好吧，”陌生人说，“试图保持平静。你可以用一个棍棒代替。”他把骨头递给托托，托托把骨头拿到一边开始啃起来。　多萝茜扔了一根棍棒，最后，棍棒的一端碰巧触到了圆圈的边缘。这样，棍棒的另一端也碰巧落在了圆圈里面。　“很好，”　奥兹博士说道，“这就是你的测验。大体上，当捆绑的一端在圆上时，另一端在圆里面的可能性是怎样的？如果细棍棒的长度是　2R　或　R/2　时答案又将有什么变化？如果你不能回答正确，陌生人会把你扔进圆圈，让你画地为牢。”　难度系数：　！　！　！


第一章　设题与解答扔骨头（答）

　　　　假设外星人使用的木棍或骨头的长度为　R　。为了让故事看起来更吓人，我们就权当它用的是骨头吧。圆心为　o　，骨头一端与圆的交点为　P　（见图　F14。1　）。在圆上取一点　Q　，使　PQ　＝　L　，角　OPQ　的角度为　a　。我们想知道骨头的另一端落在圆内的概率是多少。经过计算，概率为　2a/2　π　（如果用角的度数来表示的话，则为　2　a　/360）。你可能会问，这是怎么算出来的？设想，骨头的一端固定在圆上，　另一端可以旋转　360度或2π×弧度。在所有的旋转结果中，当弧度为　2a　时，骨头的另一端留在圆内。　F14。1　扔骨头难题的答案　接下来，要确定　a的数值。有了三角形　OPQ　，我们就可以利用余弦定律和图　F14。1中的变量来计算角a的角度：　R　2　=L　2　＋R　2　…2RLcos　（　a　）　在已知对角及另外两边长度的情况下，通常用余弦定律来计算三角形的一边的长度。在已知三角形�