世界近代中期科技史-第18章
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秘与信条的构思更为清楚,或推理更为明确》。信中所说的“分析学者”、
“不信教的数学家”,均指哈雷而言。贝克莱的公开信的内容要点,是企图
以牛顿的无穷小量中的自我矛盾为突破口,既对数学进行“神学的批判”,
又对神学进行“科学的论证”。
在对数学进行“神学的批判”时,贝克莱抓住了牛顿在无穷小量的表述
上的混乱以及在此基础上运用流数法的矛盾,批判牛顿所一直信奉的“基本
的和最终的比”这一命题,认为渐近于零的两项之间不可能存在着有限的比,
于是,贝克莱对牛顿的流数进行猛烈的抨击。他说:“这些流数是什么?是
渐近于零的增量的速度,那么这些相同的渐近于零的增量又是什么呢?他们
既不是有限量,也不是无穷小量,可也不是虚无。难道可以把它们称为死去
① 恩格斯:《自然辩证法》,人民出版社1971年版,第236页。
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的量的幽灵吗?” ①
贝克莱对牛顿的微积分的基本原理的攻击,虽然出于一个正统神学家对
科学的反对立场,但是他也确实揭示了微积分在创立初期尚未解决的内在矛
盾。正因为贝克莱在对微积分的攻击中揭开了微积分的内在矛盾,所以微积
分本身即由此陷入理论危机之中。由贝克莱的发难所造成的这场数学危机,
就是数学史上的著名的第二次数学危机。
牛顿和莱布尼茨在创立微积分时,虽然他们都发现了微积分的基本原理
和主要方法,但是,在对于微积分的基本概念无穷小量的表述上,他们都未
能给予确切的数学的定义。他们时而说无穷小量是“零”,时而说无穷小量
“非零”;他们时而说无穷小量“消逝为零”,时而说无穷小量“趋向于零”。
总之,没有严格的数学定义。正因为如此,尽管微积分在运算方法上是正确
的,但是,从逻辑上看,它违背了形式逻辑的基本规律;从常量数学来看,
它是错误的,而从变量数学来看,它也缺乏充分的理论依据。这说明,牛顿
和莱布尼茨在最初发明微积分时,确实都还缺乏严密的数学理论基础。也正
因为如此,才使贝克莱这位敏锐的神学家终于从中看出了他所说的那种“严
重的空虚、黑暗和混乱。”
贝克莱的公开信立即在数学家中产生了影响。哈雷此时已近80高龄,并
未理会这位神学家的挑战,但是,其他一些数学家相继进行了反击。1734年,
即在贝克莱公开信发表的当年,英国数学家朱允(1684—1750年)即发表《几
何学,非不信教的朋友》这一公开的批驳信,首先对贝克莱的公开信进行反
击。朱允认为,对于精通几何学的人来说,流数的概念是清楚的,并按照他
的理解对牛顿的流数作了解释。对此,贝克莱在1735年发表了题为《捍卫数
学中的自由思想》一文,予以反击,为此,朱允又另著文反驳。
1735年,英国另一数学家罗宾斯(1707—1751年)也参加了论战,他发
表了几篇论文,并出版了《论牛顿的流数法以及最初比与最终比方法的本质
与可靠性》的专著,试图对牛顿的流数进行数学解释,批驳贝克莱对流数的
神学解释。
此后,英国另一著名数学家马克劳林(1698—1746年)也参加了反击贝
克莱的论战。1742年,马克劳林出版《流数论》一书。在这一著作中,马克
劳林除了驳斥贝克莱对微积分的攻击外,还试图建立起微积分的严密的数学
理论基础。
但由于当时历史条件的限制,直到19世纪初法国著名数学家柯西的极限
理论建立前,微积分在数学理论方面所发生的危机一直未能从根本上结束。
但第二次数学危机的发生,使人们认识到微积分本身还不够完善。这样,微
积分就开始了试图克服自身危机的革命。此后,经过近一个世纪的几代人的
相继努力,微积分终于在19世纪初建立起了严密的数学理论基础。
2。数学家族
(1)数学家族的第一代兄弟
17世纪80年代末和90年代初,当牛顿和莱布尼茨为微积分发明的居先
权发生争议时,在大陆数学家中有两个兄弟站出来热烈地为莱布尼茨辩护,
① '英'斯科特:《数学史》,商务印书馆1981年版,第217页。
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这就是贝努利数学家族的第一代贝努利兄弟:雅克·贝努利(1654—1705年)
和约翰·贝努利 (1667—1748),人们通常称他们为老贝努利兄弟。
贝努利兄弟生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭,他们都曾有过一段自学数
学的经历。
雅克曾根据他父亲的意愿,最初在巴塞尔大学学神学,因为他的父亲希
望他将来能成为一个牧师。可是,雅克在法国、德国和荷兰等国进行广泛的
旅行后,由于受到所结识的一些数学家的影响,对数学产生了兴趣。从1670
年以后,雅克即开始自学数学。当时,微积分尚未发表,雅克找来一些数学
著作,开始研究人们当时极为关注的求曲线的切线等数学问题。在研究中,
他主要研究了笛卡尔的《几何》、华里斯的《无穷算术》、巴罗的《几何讲
义》等著作。雅克也几乎走到了独立地发明微积分的边缘。正在这时,莱布
尼茨的微积分成果相继发表,雅克对莱克尼茨极为敬佩,他前往德国,与莱
布尼茨进行短期合作。1686年返回巴塞尔当上了巴塞尔大学的数学教授。
雅克的弟弟约翰,他的父亲最初曾想让他去经商,而他本人却想去学医。
但此后不久,在哥哥的影响下,他也开始自学数学。从1695年起,约翰因其
在数学上初露才华,被聘为荷兰格罗宁根大学的数学教授。1705年,其兄不
幸去世,约翰应聘返回瑞士,接替了他哥哥在巴塞尔大学的数学教授职位。
(2)变分法与概率论基础的奠定
雅克·贝努利对于当时数学的贡献,主要在于奠定了变分法与概率论的
基础。
变分法所涉及的一些基本数学问题,即求极值的问题,可以追溯到古希
腊数学发展时期。那时,阿基米德就曾证明,在给定的周长之间,所围成的
各种几何图形的面积,以圆形的面积为最大。在古代,极值问题不仅为一些
著名数学家所关注,而且流行在一些民间的传说中。在迦太基传说中,就有
一则求极值的数学故事:有人给戴多皇后一张牛皮,要她用这张牛皮围出尽
①
可能大的面积。戴多皇后把牛皮割成长条,然后用长条围出一个半圆 。这说
明,求极值问题远在古代已经引起了人们的关注。
进入17世纪后,由于力学和数学的发展,类似的数学问题又重被人们提
出,在伽利略和莱布尼茨的有关著作中,都曾出现过类似的数学问题。
1696年,约翰向他的哥哥提出了6个数学难题,这些数学难题都不是用
当时的数学方法能一下子解决得了的。其中有一个问题是这样的:在给定的
一根水平轴上画出的所有半椭圆中,怎样才能求一个半椭圆,使物体沿着它
的凹面下滑时,所需要的时间最短。这一问题实际上就是求最速降线问题。
用通常的数学术语来说,也就是求曲线,它能使最初为零的质点在重力作用
下从起点沿曲线降到终点时,所需时间最短。
对于约翰提出的最速降线问题,雅克一时无法作出回答。此后经过三年
多的努力,他终于从微积分中引出一种新方法,即是在求极值方法的基础上,
运用积分方法求出某一积分的极值。1697年12月,约翰在《博物杂志》上
发表了他向雅克提出的数学问题。1700年,作为对约翰提出的问题的解答,
雅克在 《博物者学报》上发表了一篇著名的论文:《等周问题实解》。在文
中,雅克除了讨论最速降线问题之外,还讨论了涉及到求极值的另一个重要
① '英'斯科特:《数学史》,商务印书馆1981年版,第249页。
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问题:等周问题,即在一切具有定长的平面闭曲线中,求出一条围成的面积
最大的曲线。无论是等周问题,还是最速降线问题,都是微积分中求极值方
法的运用和发展。文中还讨论了求极值方法的一般原理与普遍方法。这样,
雅克就以微积分中的求极值方法这一基本数学问题为生长点,在微积分中开
辟了变分法这一新的数学分支。
由于变分法的建立,不但推动了微积分本身的发展,而且初步奠定了力
学和物理学中变分原理的数学基础。这样,雅克就把微积分从纯粹数学与应
用数学两方面向前推进了一步。
雅克除了奠定变分法的基础之外,在微积分的早期发展中,也曾取得一
些类似于莱布尼茨的重要成果。1694年,雅克出版了《微分学方法,论反切
线》这一重要论著。在书中,雅克对微积分的基本原理和方法进行了比较系
统的研究,特别是推进了常微分方程与积分法的研究。这一著作在微积分的
早期发展中产生过重要影响,并被一些数学史家誉为微积分的奠基作之一。
雅克对近代数学发展的另一个重要贡献,是进一步奠定了概率论的基
础。
在雅克之前,概率论已有最初的萌芽。荷兰科学家惠更斯1657年发表的
《论机会游戏的演算》,可以算是近代数学史上最早的概率论著作。
雅克在1685—1690年间对概率论进行了研究。1685年,他在《博物杂
志》上发表的一些论文中,重新提出了惠更斯在《论机会游戏的演算》中提
出过的一些概率论问题:若甲乙两人在赌博游戏中同掷一颗骰子,先掷出是
么点的为胜。甲乙两人开始各掷一次,然后各掷两次,接着各掷三次,依此
继续下去,两人获胜的概率各有多少;或者,甲先掷一次,乙接着掷二次,
甲掷三次,乙接着掷四次,两人获胜的概率又各有多少。通过提出这些问题,
雅克开始了对概率论的研究。
1690年,雅克完成了赌博游戏中胜负概率的计算方法的研究,找到了以
排列组合为基础的一种普遍的数学方法。运用这一方法,可以确定某一事件
的概率范围,即使某个在多种机率中出现的事件概率无限地趋向这个已经确
定的概率。这样,雅克就找到了一种处理随机现象的数学方法。自此之后,
概率论也就从惠更斯所最初提出