思考:我的哲学与宗教观 作者:何新-第35章
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而上学〃的不可知论，也不过是重步康德〃人类理性批判〃的后尘。只是与康德相比，罗素贫乏的哲学要浅薄得多。
记者：都是不可知论，难道也有深刻与浅薄之分吗？
何新：当然。一个傻瓜说我认为世界不可知，与康德所说的不可知，肯定涵义不同。 康德所提出和试图回答的问题是：人类对世界进行认知何以是可能的？并且在何等限度下是不可能的？康德认为，人类理性的工具和方法是逻辑。但是在先验的逻辑形式中，蕴涵着发生逻辑矛盾从而导致无意义、无结果思辩和争辩（即辩证矛盾）的必然性。 我们之所以说康德的这一结论是深刻的，是因为这一结论在20世纪，实际上以哥德尔〃不完备性定理〃的形式，在数理哲学基础中被现代数理逻辑所重新确认。
8、关于哥德尔定理
记者：什么是哥德尔〃不完备性定理〃？
何新：数学逻辑学家哥德尔（K…Gdel，1906…1976）在1931年证明： 〃包含着通常逻辑和数论的一个系统的无矛盾性是不可能确立的，如果人们只限于运用在数论系统中可以形式表出的概念和方法，实际这就是说，数论的相容性用元数学所容许的狭义逻辑是不可能确立的。〃 ［Gdel的不完备性定理（inpleteness theorem）所表述的是，如果一个足以容纳数论的形式理论T是无矛盾的，并且算术的形式系统的公理都是T的公理或定理，那末T就是不完备的。这就是说，有这样一个数论的语句S，使S和非S都不是这个理论的一个定理。因为S或非S总有一个是真的；于是就有了一个数论的语句，它是真的又是不可证明的，这个结果适用于Russell…Whitehead系统，Zermelo…Fraenkel系统，以及Hilbert的数论公理化。］（引自M·克莱因《古今数学思想》第4卷，第320页。） 哥德尔定理从根基上推翻了罗素的《数学原理》试图以逻辑斯蒂构建数学公理系统的意义。 对于哥德尔的这一定理，数学家魏尔（Weyl）曾讲过一句十分幽默的话： 〃上帝告诉我们数学是不容矛盾的。但魔鬼告诉我们这种不矛盾性是不能被证明的。〃（1944） 现代数学哲学的这种理解，与康德的哲学的不可知论，可以说是惊人相似。
9、先验的抽象时空并不存在
记者：但是康德哲学主要是一种认识论。
何新：它也是方法论。康德认为，除了依靠被直观世界（感性知觉）所决定的经验方法外，人类无法依靠理性的工具认知世界。特别是人类无法面对和洞察不可见的世界例如未来世界，三维以外的多维世界。
记者：但是，康德认为存在着先验的绝对时空形式。
何新：关于这一点，许多人误解了康德（包括罗素）。康德所谓先验时空形式，指的是一种心理的存在，主体意识的存在，而不是客观的存在。在康德看来，人类对外界的感知，是通过内在于人性的时空抽象而实现的。 康德说：我的工作是检测人类的认识工具。他认为，这种工具在结构上存在问题。就是一离开感性的手段，以纯理性作演绎推论，就会生成出自相矛盾的理论。这就是康德哲学著名的〃人类理性佯谬〃。 康德认为，对于这些相互矛盾的理论，理性既无法证明它的真，也无法证明它的伪。因此，谨慎的办法是，都不要相信它们。 所以康德说：我们应当牢牢守住感性知觉的经验范围，不要让思维和理性越出这个可以被检测的范围。否则，我们会陷入无边无际的矛盾和争论，永远找不到真理。这就是康德〃不可知论〃的真实涵义。 20世纪的数学哲学和科学哲学，以及所谓〃逻辑实证法〃，在这一点上并没有比康德知道得更多。
记者：数学一向被认为是具有精确性和必然性的科学。为什么数学哲学也会陷入不可知论？
何新：在现代数学中，牛顿的绝对时空概念已被推翻。非欧几何的建立导致对数学认识论直观反映论的冲击。数学哲学家认为： 〃那些在真实世界里没有直接对应物的数理概念被引进并逐步被接受，迫使人们承认数学是一种人为的并且多少带有任意性的创造物，而不仅仅是从自然界里引导出来的本质上是真实事物的一种抽象。〃（引自M·克莱因《古今数学思想》第4卷。） 随着这种认识的深化，带来了意义更加深远的发现数学并不是关于自然的映现式真理。特别是20世纪初集合论悖论的发现，导致了所谓〃第三次数学危机〃。
10、数学史上的三次危机
记者：什么是〃数学危机〃？
何新：数学史上发生过三次关于理论和方法的危机。都是由于在数学的基础概念中出现了矛盾。第一次是在希腊时代，毕达哥拉斯学派发现了〃无理数〃，所谓〃无理数〃，在希腊时代叫〃Alogon〃，即荒谬之数，不可理解之数。它引起了数理概念的第一次定义危机。（据说发现无理数的人由于这一发现而被丢进大海里。） 第二次是在17世纪，由于微积分的发明而发现了关于无穷小概念（动态）与其极限概念〃零〃的关系的矛盾，而发生了概念危机。 第三次是19世纪末20世纪初发生了集合论的悖论，引发了关于数学逻辑基础可靠性的问题。这种悖论最简略的表述形式之一是，在涉及无限的集合时，整体与部分一样多。例如，自然数集合（1，2，3，4，……）它包含了偶数集合（2，4，……）与奇数集合（1，3，……）。但是事实上有多少自然数就有多少偶数，同时也有多少奇数。整体与部分同样多（伽利略悖论/Burall…Forti悖论）。有一位美国数学家（TDamtzig）说： 〃一部分可能有全体之势，这句话与其说像数学，还不如说像神学。〃（《数：科学的语言》，丹齐克，第178页。） 这犹如说父亲与儿子年龄一样大。这是一个荒谬的矛盾，导致集合论的逻辑基础成为问题。 创建集合论的Cantor在1899年给Dedekind的一封信中曾指出，人们要想不陷于矛盾的话，就不能谈论由一切集合所成的集合。而这也就是后来的Russell的悖论的内容（《数学原理》（The Principles of Mathematics），1903，P。101。）。（还有诸如以下一些问题：由一切人组成的类并不是一个人。但由一切概念组成的类自身也是一个概念。由一切图书馆组成的类是一个图书馆的概念。由一切基数大于1的集合组成的类也是这样一个集合。因此，有一些类不是它们自己的元素，而有一些则是它们自己的元素。这个对于类的描述，包括了一切类，并且这两种类集是互相排斥的等等，都是悖论。） 数学史家M·克莱因描述第三次数学危机的发生过程指出： 〃二十世纪数学中最为深入的活动，是关于数学逻辑基础的探讨。在这个世纪的前期，首先是矛盾的发现，委婉地被称为悖论，在集合论中尤为突出。这些矛盾的发现显然深深地扰乱了数学家，另外一个逐渐被认识到并在本世纪初显露出来的，是数学的相容性（consistency）问题。
在十九世纪后期，有一些人已经开始重新考虑数学的基础，特别是数学对逻辑的关系。在1900年以前已经冒了烟的争论，经悖论和相容性问题加上燃料，就爆发成大火。结果，全部数学的逻辑基础，就成为极其严重和被普遍关心的问题。〃（《古今数学思想》，第4卷，第289页。） 此即第三次数学危机，也是数学史上最严重的一次危机。 这一危机不仅震撼了数学体系的真理基础，而且震撼了传统逻辑关于思维不矛盾的基本信念。这个问题至今并未解决。 11、1＋1=？
记者：您所谈到的数学危机令我震憾。在人们的心目中，数学是一切科学的基础，是逻辑严密而且具有精确性的唯一严密科学。
何新：真正的精确性也许只有在初等数学中才能得到。即1＋1=2。但实际上，就连这个等式也并非绝对无可争议。例如把两桶水注入到一个大桶中，在抽象的意义， 结果就是1＋1=1。
记者：有人会说，前面两个〃1〃与后面的〃1〃在质上不同。
何新：然而〃1〃的本质是什么呢？它不仅是数量的基本单位，有时也是一种〃质〃。我可以再举一个例子来说明。 以一个不知大小的数进行运算，可以得到确定的结果。如： X=？ X/X=1 根号2=？ 根号2/根号2=1 我们不必知道〃X〃是什么数，〃 2〃的数值是无理数，也是没有确定值的。但我们以之作相除运算的结果却可以很确定，结果就是〃1〃。为什么？ 在这里，1并不是一个〃数〃，而是指示一种关系，即某物或某量，无论其多么大或多么小，其与自身的比例总是同等大小，这是一种〃质〃的相同。这种关系就是〃1〃。这样考虑的〃1〃，实际已推翻了罗素、怀特海在《数学原理》中对于〃1〃的定义。
12、数理哲学
记者：也就是说，现代数学的一些主要分支，已经发展得高度抽象，而远离了实际的运算阶段。
何新：数学发展已经过三大阶段： （1）算术和初等几何（具体的形量关系）阶段。 （2）代数（抽象数量关系）和抽象几何的阶段。所谓计算的精密和精确性，应当被认为是初等数学阶段的事。代数学已经是与含义无关的一种逻辑抽象。因为：〃显然我们可以用我们愿意用的任何符号，并按我们选定的任何法则去处理它们〃。怀特海（Whitehead）指出，符号的这种任意处理可以是随便的，而只有那些能被赋予某种意义的或具有某种应用的解释才是重要的。 （3）在19世纪末20世纪以来的现代数学阶段，数学已经发展为数理哲学，已成为一种涉及抽象概念之间的逻辑关系的逻辑哲学，成为一种符号模型系统，远远离异于所谓计算以及精密性了。 M·克莱因指出： 〃大约到1850年以后，人们接受了这样一种观点，即数学能够引进并研究一些相当任意的概念和理论，或者像四元数那样，它们没有直接的物理解释，但却是有用的；或者像n维几何那样，它们满足一种普遍性的要求。〃 〃Cantor为了捍卫他所创造的超限数，说它是一种存在的、真正确定的量时，主张数学和其他领域的区别在于它自由地创造自已的概念，而无需顾及是否实际存在。1883年他说：'数学在它自身的发展中完全是自由的，对它的概念的限制只在于：必须是无矛盾的并且和先前由确切定义引进的要领相协调。数学的本质就在于它的自由。'〃 〃Whitehead在他的《一般代数》中说：代数变换法则的合法性是不依赖于算术的。如果有依赖的话，那么显然可见，代数表达式一旦在算术上不可理解，则关于它们的所有法则就必定失去合法性。代数法则虽是由算术提供的，但却不依赖于它。代数法则完全依靠约定，用以表达某些把符号分组的模式必须被认为是等同的。这就给形成代数符号的记号指定了一定的性质。〃 〃那种在真实世界里没有直接对应物的概念之被引进并逐步被接受，确实迫使人们承认数学是一种人为的并且多少带有任意性的创造物，而不仅仅是从自然界里引导出来的本质上是真实事物的一种理想化。但是随着这种认识的深化，带来了更加意义深远的发现数学并不是关于自然的一堆真理。〃（《古今数学思想》，M·克莱因著，第4卷，第280页。）
13、数学崇拜
