黄万里文集-第6章

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Law　of　Least　Works）。


26


总之，除　St。　Venan　方程组外，还缺少一个定律来解一动力问题。建议的最大
能量消散率定律就是为了解决普遍存在的动不定问题。


三、槽流所揭示的能量消散的实际情况　

在三线平行之下游，能坡线和水面线是受下游控制的作用。以渐近线逼近各
自的平行直线。实际上恒定均匀流并不存在，只是约略地把渐近作为极限的直线　罢了。













































27


图 1 所　示明槽　不定流　的一般　情况，　给出了　Qo
=　Qo
（t　）；　i　=　i（x）；
？　=　？　（x；　h）；　C　=　C　（x；　h），诸条件已足够确定水流的全部情况。但若只用　St。　Venan
两方程，便有无穷水面线都符合这两方程。因此，我们必需另一方程，才能定出
那个唯一的水面线和水流情况，不要依靠经验关系　Q　=　Q（h）　。
在起点　x　=　0　处，及其上游　x　？　0　，当　t　？　0　，假定为均匀流三线平行，E0　　　或

2
H0　两点相合。E0　B0　代表断面能率，　？　0　=　h0　　＋　V0
/　2　g　，意思是每公斤的水在　H0　或

E0　处相对槽底　B0　的潜在能量。现有　Q0　流过，即每秒有　Q0？　　=　？gQ0　公斤水流过，
0
0
0
则　？gQ0　（h
＋　V　　2　　/　2g　）为相对槽底　B

点断面潜在的机械能率，是没有方向性的。


在　x　=　0　以下，　x　》　0　，水流受着下游不同的控制，水面线或成壅水线，或成
落水线。（图示为落水线），槽底沿程降落，使断面能率　Hx　Bx　不断增加。同时部分
能率损耗，PL　　能线也不断降落，累积损耗能率自　x　=　0　起，以　Hx　　　　Ex　　表示剩余的
？ 2 x　　1　？V ？
？gQx　？　hx　　＋　Vx
/　2　g　＋　？0　　　 dx　？　是流体　x　=　0　至　x　　间这整个体统当同一时刻　t　　储
？ g　　？t ？
存着的机械能率。由于对比了起始的　H0　　B0　，令　Hx　和　H0　同水平高，在　Hx　Bx　中，
扣去了累积的损耗　PL　，剩余的上列表达式不再仅代表“断面能率”，而且是　O~x
体统的储存机械能率了。但这体统却不是独立体统，一来它受到下游壅水的作用，　二来　i　fx　　　？　ix　，有着能率出入这　x　断面。
？ ？　？
只有在控制断面　xc　处　？gQ（i
？　i　）　=　　　　　（h　＋　V　2　　/　2　g　），　Q？g　=　　　　　　=　0　处，流态
f ？x ？x
开始从缓流变为射流，　Fr
？　1　，开始流速大于波速，重力坡不再返射，水流质点

形成离散的样子，质点间无复相挤。而且在这个断面　i　f　　　　=　i　。出入能率相平衡。

和　xo　的起始断面一样。所以　x　=　0　至　xc　间可以看作是一个孤立的体统。如果假设
由损能转成的热能内涵而不向四周散，则它可以看作是一个动的封闭体统。

我们清楚地看到，这整个体统内的储藏机械能率　Wc　Bc
=　？gQ（h　＋　v　2　　/　2　g　）为

最小，故其消散能率　Wc　Bc　　　=　PL　为最大。只有符合这种情况的水面线才是现实的。


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其他虚拟的水面线消散能率都较小，虽也合乎　St。　Venan　方程，却是不会出现的。
据此就确定了那唯一现实的水面线，而毋须依靠经验　Q~h　关系。
这定律不单是指出，在控制断面　xc　上和　Vc　会配合得使断面能率　h　＋　V2　/2g　最

小。又因据此　hc　　和　Vc　　算出的　i

=　V　2

/　2　gh　c　2　　　=　F

/　C　2　，必须=ic　，从而决定　xc
f c c r


的位置，而且从此　hc　；　Vc　；　ic　，向上游推算出水面线；并定出起点　x　=　0　，这意味着
整个体统中的压力场和流速场要分布得使其总的能消散率　PL　为最大。


四、关于极大极小的争论　
从上面的分析里可见，论储存能率　？=　h　＋　v　2　　/　2g　，只可能寻出　h　和　V　的配合

使　？　最小，从而推得　PL　最大。从自然界不可能寻出最大　？　，那样只有　h　？　？　，V　　？　0
或　h　？　0　，　V　　？　？　，皆不合实际。故根本没有最小　PL　　　存在。然则最小消散率是
怎样产生的呢？
第一个来源是人们主观的错误，常认为任何运动总是按损能最小进行着的，　但从无证明。
第二个来源是以杨志达为代表，把每一时刻发生的力学分析混淆到长期形成
的地貌统计分析里，反过来否定力学规律。这是难以令人理解的。Leopold　　的河
流地貌分析也有相似的问题。

　　　
第三个来源是人们容易误会把　Prigogine　　的产熵率　dS　　=　S&沿时程　t　　及路程　x
dt
& &
？S ？S
减小，并趋向于某个最小之值：　　　　　《　0　，　　　　　《　0　和作者提出的　S　随时随地总是使
？t ？x

　　
P、　？　=　　1　、T　等组成得使它按最大可能之值　S
V

立起来。


t1x1

&
=　max　出现，这个普遍性原理对


五、随时随地最大产熵率　S&定律和　Prigogine　原理　
L
由机械能消耗率为热能率　Q&=　？P　　通常条件下是不可逆的（　？　为能变换当量）。
这热能在一定温度　T　下产生熵　TS&=　Q&，所以，最大能量消散率　PL　=　max　就是就地



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c
热平衡下的最大产熵率　S&=　max　。在断面　x　　处可以看到，实际的和虚拟的能坡线


　　　
比较，不仅　S&最大，而且比熵　S　=　？S&
？x

也最大，而且任何　x

处　S&都是最大。作者另
从统计力学作出证明　S&最大，这就是新的热力学第二定律：在任何　t　=　t1　； x　=　x1

i
处比熵　S&=　S&（P，　V，　T）》　0　=　　最大。S&指内在自发的　S&，用来替代现行的　Clausius


不等式和　Boltzman　或　S　=　K　ln　m　Pmax　　　　（m　质量，P　概率）。

？S&
从图　2　中还可看到，当　x　或　t　增进，if　减小，亦即　S　递减。迄　xc　为最小：=　　　《　0　，
？x
& &
？S dS dS
　　　　《　0　，　　　　　《　0　；　　　　＇
=　最小。这就是　Prigogine　　原理。注意：他所谓　S&趋向
？t dt
？t　　　xc
于最小，是指瞬时的，沿程的相比。而笔者指出的　S&和　s&最大，是指当任何一定
时刻　t、一定断面　x、现实的和虚拟的比较。后者可用来解决一切动不定方程，而
前者却只是现象的描述，无补于实用，且仅是后者的推论而已。


















用数式来解释：PL　　=　PL　　＇　（　h；　V；　　ρ；　　……）；　（x；　t）　＇
s&=　s&＇（P； V　；
T　）； （x；
t　）＇　=　s&（A；　t　）
Prigogine　原理是沿着现实的能坡线来讨论　S&~　x　，t。最大产熵率定律是沿着虚拟
L
的立面，在任一断面　x，t　上讨论　S&~　　p　，V，T，或　P
~　h　，V。　？　来定出那个未

知的、唯一的、现实的　s&或　PL　最大值。



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（ ）
ds& ds&　dA
s&=　s&A；　t　　：在　x　　处，　　　　　=　0　=　　 ＋
？s&
c dt
？A dt
max
？t
min



六、流速场和压力场方程　

原文中提出的紊动力学的基本方程，下面是流速场和压力场的：一般性三维　方程，非恒不匀流，U　=　U（x；　y；　z），储存功率　Pr　：

？　？　？　y
（x　；　z　） ？　y　（x　；　z　）

？　U　2　　　/　2　g

1　　？　U　　？
？　　？ ？ ？
r
P　　　=　？ x　c y　m z　m　　　　　　　　　 b　 　＋ ＋
＋ ？Udzdydx
=　　min


？Pr
0　　　　　　　0 0　　　　　　？ ？　x

=　0　。
？　x ？　x
g　　　？　t　　？
二维方程：当　zm　　　？　？　，取单宽　U　=　U（y；　x），非恒不匀流。

？　？　？y

（x　）

？y（x）

？U　2　　/　2　g

1　？U　？
？　？ ？
r
P　　=　？　　　xc　　　　　　　ym　　　　　　　 b　 　＋ ＋
＋ ？Udydx　=　min　，　？Pr
=　0　。
0 0　　　　　？ ？x ？x
？x g
？t　　？

一维方程：非恒不匀流，U　=　U（x）为断面均速，Q　=　Q（x）

？　？　？y

（x　）

？y　　　（x　）

？U　2　　/　2　g

1　　？U　？
c
x
Pr　　　=　？　？
　 b　 　＋
　 m　 　＋
＋ ？Qdx　=　min　，　？Pr
=　0　。
？
0　　　　？ ？x ？x
？x g
？t　　？


一维准均匀流：　i　f
？　J　？　i　，J　接近确定，不需要　Pr　　？　min　式子。上列各式


可推导出流速、压力的空间分布、断面分布或垂线分布。
例如在恒定非匀流中，　x　=　x1　断面上，若不知其水面下水深　ym　　？　yb　，欲求其
流速垂线分布公式的格局：　yb　给出，　ym　为变量。
？ ym 2

　　　
b
y
？Pr　　　=　？？　？x　？0
（？　y　　＋　y　＋　Uy
/　2　g　）U　　dy　=　0

？　　？ Uy　3　　？
？？　　　　　？　？　y　Uy　＋　yU　　　＋　　 ？　=　0　。
？x b y g
？ 2 ？


在均匀流情形下，括号内为常数。



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？ Uy　2　　？
Uy？　？　yb　　＋　y　＋　　 ？　＋　c　=　0
g
？ 2 ？


Uy3
？ U　　2　　？
y
　 ＋　（？　y
2g b
＋　y　）U
？　U　b
？　？　yb
？
？
＋　　　　　　b　　　　？　=　0
？
2g　　？


垂线上流速分布公式　U　y　　　~　　y　，底速　U　b　由糙率决定。

可见　Pr　为一组未定函数或泛函数，其中只有一函数是现实的，得用变分法确
定。这是定律的数学涵意。

　　　　？　？　y　　＋　y　＋　　　　　　？　=　　　　　　=　0　原则仍合，
？　　？ U　2　　？ ？？
当非均匀流转化为均匀流时，　i　f　　　？　i　=　？x b g x
？ 2 ？ ？


极值转化为常值。












但是在均匀流中，　ym　和　U　等并非按极值决定，而由　St。　Venan　方程组解出。

因实现的　i　f
=　J　=　i　，是按自然赋给的全部底坡　i　出现，它已经代表均匀流下最大


可能的能量消散率了。注意这里的假设是把渐近线看作是直线。


七、沙流浓度场分析　

泥沙在水流中的浓度分布和水流的流速场、压力场等一样，应遵从最大能量
消散率定律，沙粒不仅随着水团运移，而且相对着有移动和转动之差；不仅须克
服粘性切力，而且须克服两种物体间的磨擦而消耗能量。若　Rouse…Ippen　　的断面
浓度分布的推导是完整的，则其方程中所缺的未定部分应可由这定律来补足。


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含沙水流的损能未必可援用　Chezy　公式：公式的形式、系数和指数都应改变。
长期以来笔者认为这是应该最先研究的课题，把它掩盖起来是错误的研究方针。


八、长段非恒水沙流分析　

U
？ 2　　？
2
g
？ 　　　　　c　　　　　？
由于在控制断面上的储存能率
？　yc　　＋
？
？Qc　，同时又代表一长段水沙流同
？


时刻的储存能率，这就方便了非恒流的演算：输沙率长段内的冲淤率等。


九、可塑河槽的槽形研究　

过去槽形研究中造床流率按最大频率的输沙率所对应的水沙流率，槽形则按
这流率下的最小槽底阻力分析。本定律——最大能量消散率是和最小槽底阻力等　原则相对立的。据此可研究出一套新的槽形理论分析。

十　、对于利　用“最小能量消散率定律　”或利　用“　Prigogine　熵趋向最小值”　
来分析河貌的不同意见。　

首先这些都是力学的定律，是分析同一时刻发生的力能现象。不应和地貌分
析中诸因素间长期的经验统计关系合起来联解或相提并论。
Prigogine　原理虽是对一段时间的，但也只能是对时程上限于一条流率时程线
的起伏过程，对路程上两个控制断面间的距离。然而讨论地貌的形成是至少经过

& &
了几十年的，这期间外加熵增率　Se　和自然产熵率　Si　　已不知起伏了多多少少次，无

法分析