从一到无穷大-第5章

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　　这是一个令人伤心的故事。然而，更令人伤心的是：如果这个小伙子懂得点数学。特别是虚数，他本来是有可能找到这项宝藏的。现在我们来为他找找看，尽管已经为时太晚，于他无补了。
　　我们把这个岛看成一个复数平面，过两棵树干画一轴线（实轴），过两树中点与实轴垂直作虚轴（见图11），并以两树距离的一半作为长度单位。这样，橡树位于实轴上的…1点上，松树则位于＋1点上。我们不晓得绞架在何处，不妨用大写的希腊字母Γ（这个字母的样子倒象个绞架！）表示它的假设位置。这个位置不一定在两根轴上，因此，应该是个复数，即
　　Γ=a＋bi
　　现在来搞点小计算，同时别忘记了我们以前讲过的虚数的乘法。既然绞架在Γ，橡树在…1，两者的距离和方位便为…1…Γ。同理，绞架与松树相距1…Γ。将这两段距离分别顺时针和逆时针旋转90，也就是按上述规则把两个距离分别乘以…i和i。这样便得出两根桩的位置为：
　　第一根：（…i）＇…（1＋Γ）＇＋1=i（Γ＋1）＋1
　　第二根：（＋i）（1…Γ）…1=i（1…Γ）…1
　　（这一部分作者使用了向量减法，大家最好在纸上画一画，就明白这两个算式的意义了）
　　宝藏在两根桩的正中间，因此，我们应该求出上述两个复数之和的一半，即
　　（1/2）＇i（Γ＋1）＋1＋I（1…Γ）…1＇=（1/2）＇iΓ＋i＋1＋i…IΓ…1＇=（1/2）（2i）=i
　　现在可以看出，所表示的未知绞架的位置Γ已经在运算过程中消失了。不管这绞架在何处，宝藏都在i这个点上。
　　瞧，如果我们这位年轻的探险家能做这么一点点数学运算，他就无须在整个岛上挖来挖去，他只要在图11中打处×一挖，就可以把宝贝弄到手了。
　　如果你还是不相信要找到宝藏，可以完全不知道绞架的位置，你不妨拿一张纸，画上两棵树的位置。再在不同的地方假设几次绞架的位置。然后按羊皮纸文件上的方法去做。不管做多少次，你一定总是得到复数平面中那个位置。
　　依靠…1的平方根这个虚数，人们还找到了另一个宝藏，这就是发现普通的三维空间可以和时间结合，从而形成遵从四维几何学规律的四维空间。下一章在介绍爱因斯坦的思维和他的相对论时，我们将再讨论这一发现。


第二部分　空间、时间与爱因斯坦
　　第三章　　　空间的不寻常的性质
　　大家都知道什么叫空间，不过，如果要抠这个词的准确意义，恐怕又会说不出个所以然来。你大概会这样说：空间乃包含万物，可供万物在其中上下、前后、左右运动者也。三个互相垂直的独立方向的存在，描述了我们所处的物理空间的最基本的性质之一；我们说，这个空间是三个方向的，即三维的。空间的任何位置都可利用这三个方向来确定。如果我们到了一座不熟悉的城市，想找某一家有名商号的办事处，旅店服务员就会告诉你：“向南走过五条街，往右拐，再过两条马路，上第七层楼。”这三个数一般称为座标。在这个例子里，坐标确定了大街、楼的层数和出发点（旅店前厅）的关系。显然，从其他任何地方来判别同一目标的方位时，只要采用一套能正确表达新出发点和目标之间的关系的坐标就行了。并且，只要知道新、老坐标系统的相对位置，就可以通过简单的数学运算，用老坐标来表示出新坐标。这个过程叫做坐标变换。这里得说明一句，三个坐标不一定非得是表示距离的数不可，在某些情况下，用角度当坐标要方便得多。
　　举例来说，在纽约，位置往往用街和马路来表示，这是直角坐标；在莫斯科则要换成极坐标。从城堡辐射出若干街道，环城堡又有若干条同心的干路。这时，如果说某座房子位于克里姆林宫正东北方向第二十条马路上，当然会很便当。
　　图12给出了几种用三个坐标表示空间中某一点的位置的方法，其中有的坐标是距离，有的坐标是角度。但不论什么系统，都需要三个数。因为我们所研究的是三维空间。
　　（录入者，这个图中给出了三种坐标，一种是直角坐标，一种极坐标，还有一种是双极坐标――似乎不很常见，据说在航海中很有用，这种坐标用某点与已知两点所成的角度来表示点的位置的，故坐标值是两个角度，很明显。它无法表示与已知的两点共线的所有点）
　　对于我们这些具有三维空间概念的人来说，要想象比三维多的多维空间是困难的，而想象比三维少的低维空间则是容易的。一个平面，一个球面，或不管什么面，都是二维空间，因为对于面上的任意一点，只要用两个数就可以描述。同理，线（直线或曲线）是一维的，因为只需要一个数便可以描述线上的各点的位置。我们还可以说，点是零维的，因为在一个点上没有第二个不同的位置。可是话说回来，谁对点感兴趣呢！
　　作为一种三维的生物，我们觉得很容易理解线和面的几何性质，这是因为我们能“从外面”观察它们。但是，对三维空间的几何性质，就不那么容易了，因为我们是这个空间的一部分。这个原因解释了为什么我们不费什么事就理解了曲线和曲面的概念，而一听说有弯曲的三维空间就大吃一惊。
　　不过，在讨论弯曲的三维空间之前，还是先来做几节有关一维曲线、二维曲面和普通三维空间的脑力操吧。
　　

　作者：wyhsillypig　　回复日期：2004…12…25　12：22：00　　

　　２、不量尺寸的几何学
　　
　　你在学校里早就与几何学搞得很熟了。在你的记忆中，这是一门量度的科学，它的大部分内容，是一大堆叙述长度和角度的各种数值关系的定理（例如，毕达哥拉斯定理就是叙述直角三角形三边长度的关系的）。然而，空间的许多最基本的性质，却根本用不着测量长度和角度。几何学中有关这一类内容的分支叫拓朴学。
　　现在举一个简单的典型拓扑学的例子，设想有一个封闭的几何面，比如说一个球面，它被一些线分成许多区域。我们可以这样做：在球面上任选一些点，用不相交的线把它们连接起来。那么，这些点的数目、连线的数目和区域的数目之间有什么关系呢。
　　首先，十分明显的一点是：如果把这个圆球挤成南瓜样的扁球，或拉成黄瓜那样的长条，那么，点、线、块的数目显然还和圆球时的数目一样。事实上，我们可以取任何形状的闭曲面，就象随意拉挤压扭一个气球时所能得到的那么曲面（但不能把气球撕裂或割破）一样。这时，上述问题的提法和结论都没有丝毫改变。而在一般几何学中，如果把一个正方体变成平行六面体，或把球形压成饼形，各种数值（如线的长度、面积、体积等）都会发生很大变化。这一点是两种几何学的很大不同之处。
　　我们现在可以将这个划分好的球的每一区域都展平，这样，球就变成了多面体（图13），相邻区域的界线变成了棱，原先挑选的点就成了顶点。
　　这样一来，我们刚才那个问题就变成（本质上没有任何改变）：一个任意形状的多面体的面、棱和顶点的数目之间有什么关系？
　　图14示出了五种正多面体（即所有各个面都有同样多边和顶点）和一个随意画出的不规则多面体。
　　我们可以数一数这些几何体各自拥有的顶点数、棱数和面数，看看它们之间有没有什么关系。
　　数一数以后，我们得到下面的表。　
　　┯┯┯┯┯
　　　多面体名称　│　顶点数Ｖ│　棱数Ｅ　│　面数Ｆ│　Ｖ＋Ｆ　│Ｅ＋２　
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　　　四面体　│　４　│　６　│　４　│　８　│　８　
　　───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
　　　六面体　│　８　│　１２　│　６　│　１４　│　１４　
　　───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
　　　八面体　│　６　│　１２　│　８　│　１４　│　１４　
　　───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
　　　二十面体　│　１２　│　３０　│　２０　│　３２　│　３２　
　　───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
　　　十二面体　│　２０　│　３０　│　１２　│　３２　│　３２　
　　───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
　　　古怪体　│　２１　│　４５　│　２６　│　４７　│　４７　
　　┷┷┷┷┷
　　前面三栏的数据，乍一看来好象没有什么相互关系。但仔细研究一下，就会发现，顶点数和面数之和总是比棱数大2。因此，我们可以写出这样一个关系式：
　　Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋２
　　这个是适用于任何多面体呢，还是只适用于图14上这几个特殊的多面体？你不妨再画几个其它样子的多面体，数数它们的顶点、棱和面。你会发现，结果还是一样。可见，Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋２是拓扑学的一个普遍适用的数学定理，因为这个关系式并不涉及到棱的长短或面的大小，它只牵涉到各种几何学单位（顶点、面、棱）的数目。
　　这个关系是十七世纪法国的大数学家笛卡尔（Rene　descartes）最先注意到的，它的严格证明则由另一位数学家欧拉作出。这个定理现在被称为欧拉定理。
　　下面就是欧拉定理的证明，引自古朗特（Rurant）和罗宾斯（H。Robbins）的著作〖数学是什么？〗。我们可以看一看，这一类型的定理是如何证明的。
　　为了证明欧拉的公式，我们可以把给定的简单多面体想象成用橡皮薄膜作成的中空体（图15a）。如果我们割去它的一个面，然后使它变形，把它摊成一个平面（图15b）。当然，这么一来，面积和棱间的角度都会有所改变。然而这个平面网络的顶点数和边数都与原多面体一样，而多边形的数目则比原来多面体的面数少了一个（因为割去了一个面）。下面我们将证明，对于这个平面网络，V’…E＋F=1。这样，在加上割去的那个面以后，结果就成为：对于原多面体，V…E＋F=2。
　　首先，我们把这个平面网络“三角形化”，即给网络中不是三角形的多边形加上对角线。这样，Ｅ和Ｆ的数目都会增加。但由于每加一条对角线，Ｅ和Ｆ都增加１，因此V…E＋F仍保持不变。这样添加下去，最后，所有的多边形都会变成三角形（图15C）。在这个三角形化了的网络中，V…E＋F仍和三角形化以前的数值一样，因为添加对角线并不改变这个数值。
　　有一些三角形位于网络边缘，其中有的（如）只有一条边位于边缘，有的则可能有两条边。我们依次把这些边缘三角形的那些不属于其它三角形的边、顶点和面拿掉（图）。这样，从，我们拿去了边和这个三角形的面，只留下顶点和两条边，从，我们拿去了平面、两条边和顶点。
　　在式的去法中，Ｅ和Ｆ都减少１，但Ｖ不变，因而V…E＋F不变。在式的去法中，Ｖ减少１，Ｅ减少２，Ｆ减少１。因而V…E＋F仍不变。以适当方式逐个减少这些边缘三角形。直到最后只剩下一个三角形。�