学习像呼吸一样自然-第7章
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而另一种向孩子们开启图书世界之门的方式，就是像给安娜的那种。当她第一次用手抓住一本书，心里想着“这书是我的”的时候，这个世界便向她打开了大门，她成了这个神奇国度的公民。不是从字母认读等细微末节开始，她一上来就抓住了最大的、最重要的一个关键点，就是书可以像属于别人一样也属于她自己。接下来她又获得了下一个稍微小一些但依然是意义重大的信息：书中藏着故事，它们用文字写成，故事里有一些字词，所以只要弄清楚这些字的意思，就能够揭开故事的秘密，就能够拥有这些故事，而且可以和别人分享。
你的在传统方法教育下的孩子，或许比安娜还大上几岁，可能除了知道字词的意思以外，对书一无所知。安娜却知道除此以外的关于书籍的一切，包括所有重要的东西。
第二章 在家里学数学接触数字
人们发明数学，部分原因和发明音乐类似，即数学是那么的迷人，另一部分原因是为了实用。
我的外甥女在四五岁的时候，她的哥哥姐姐教她数数，他们按照《芝麻街》的方式让她背诵数字的名称和顺序。我听见她说：“1、2、3、4、5、7、6、8。”这时便会听见一两个大孩子不乐意地叫起来：“不对！不对！7是在6的‘后边’！”
我当时注意到了这个情景；之后不断地在思索着这一幕。这种学数字的方式会让孩子们对数字形成一种非常奇怪的观念。他们会把数字看成是一群小动物，第一个叫“1”，第二个叫“2”，第三个叫“3”，如此类推。然后，这些小动物会跳起一些莫名其妙的傻乎乎的舞蹈，大人会对这说些像“2加2等于4”之类的话。很可能所有被灌输了这种数字概念的孩子很快都会陷入困境，而这也的的确确发生在了我的外甥女身上。许多年以后，我对几个一直在算术上有问题的成年人谈起我的这个发现，他们都笑了起来，并且说这的确就是他们一直以来对数字的感觉，而且也是他们一直搞不好算术的原因。
出于这个原因，我认为至关重要的是，不要让孩子们在没有具体实物的情况下抽象地学习数字。毫无疑问，每个一年级老师都希望孩子们能学会说“1、2、3”，但这个能力和对数字的理解毫无关系。
换种方式说，当小孩子第一次接触数字时，应该把它们当成形容词而不是名词来看待。不要一上来就是抽象的“3”或“7”，而是说“2个硬币”、“3根火柴”、“4把勺子”或其他什么的。将来还有的是时间，在更久一点的将来，孩子们会通过直觉获得名词的“5”就是一组5个物体的共性。
我还要说的是，让孩子接触按顺序排列的数字，这既无必要也不明智。所以，我们可以在这一次给孩子们展示2样东西，下次则视情形而定，可能是5样其他的东西，或者8样，等等。世界上的数字以随机的形式存在，孩子们也应该预备好随时随地遭遇数字。
另一种对孩子有帮助的做法是，让孩子们有机会以某种排列形式来认较小的数字，例如全部是10以下的数字。比方说，让孩子们接触3个物体，可以让它们排成一排，也可以让它们排成三角形。4个物体的话，可以排列成正方形，也可以是三个一排，剩下的一个放在这一排上面。5个物体可以排成规则的五角形；或者是4个排成正方形，加上1个放在顶上，就像孩子画的房子；或者可以是4个排成正方形，1个放在正方形的中心。6个物体，则可以3个一列排成2列；或者3个排成三角形，另外3个排成一排放在三角形下面。可以把这些排列方式写在卡片的一面，另一面标上它所代表的数字。我绝对不赞成强迫或鼓励让孩子记忆这些卡片。如果卡片很方便易得，让孩子们用它们做各种游戏，或许他们会很快地掌握这些数字间的关系。我认为重要的是不要让孩子们通过计数的办法去辨认小的数字。
在这个过程中，一套多米诺骨牌或许是个很有用的玩具，幼小的孩子们即使只懂得码出那些数字图案，他们也会玩得兴致盎然。记分的技巧则留待日后再说。
我认为同样值得注意的问题是，当大人教孩子数字的时候，如果不移动被数物体的位置，而只是数着“1、2、3”，孩子看着大人指着这些物体，而它们看上去完全一样，不同的只是被赋予的数字，他们便容易认为这些“1、2、3”就是这些物体的名称。事实上，这种误会可以轻易避免。当我们数完了一个数就把这个物体挪到一边，嘴里说：“现在我们有了1个这个东西。”然后再挪动下一个，说：“现在有了2个。”接下来是“现在有了3个、4个、5个”，这样继续下去。这么一来，数字便不是物体的特定名称，而只是被挪到一边的那一组物体的数量多少。
在此过程中，我们可以引进序数的概念：即一条射线上能显示出不同位置的数字，而非一组物体的多少。所以，把一组小物体排成一排，我们可以依次触摸它们，说：“这是第一个，这是第二个，这个是第三个，然后是第四个、第五个、第六个。” 不要上来就讲述“序数”和“基数”的概念。只要我们朴素地使用反映这些概念的语言，孩子们会在相当短的时间内掌握它们之间的不同。
我们在数这些小物体的时候，没必要总是一个一个地数，而是可以一次把两个物体挪到另一边，边挪边说：“现在我们有了2个，现在是4个，现在是6个。”或者也可以3个一组、4个一组地挪动物体，逐渐向孩子展示做这件事有很多方式，我们可以随意挑最顺手的一种来做。
当然也有些孩子自己就能掌握序数和基数的概念，尽管我们大人使用的是让人糊涂的教育方式，甚至尽管我们自己还没搞清楚。但更多的孩子做不到这一点。我想如果能够用上面的方法，很多孩子会更容易搞明白这些定义。
第二章 在家里学数学加法和减法
一年级的孩子往往被要求写下并背诵诸如“2＋3=5”之类的东西，这被称为算式或“加法算式”。这样的算式有一个长长的单子需要孩子背了又背。课本和老师都会以各种办法来解释说明，比如先是2只小鸡，然后又来了3只小鸡，或是其他孩子们可能会喜欢的小东西。
下一个算式是“3＋2=5”。孩子们往往被另外教给这个算式，而不是把它和“2＋3=5”联系起来。一些孩子会奇怪为什么两个不同的算式会得出相同的结果。过了老半天，某个孩子会问这个问题。有的老师会说：“它们就是相同，没什么道理。”不那么传统的老师会说：“加法项是可以互换的。” 这就由一个小问题引出来了一个神秘的大谜团。甚至一个懂得“可互换”概念的孩子还是会问：“我知道它是可以互换的，我想知道为什么可以互换。”但往往孩子们不会这么反应，他们只是一屁股坐回座位，心里想着：“又学了个莫名其妙的东西。”
很快孩子们会学到两个新算式，或叫两个“减法算式”。一个是“5－2=3”，另一个是“5－3=2”。又一次是被分开教的，而不是彼此或是和前面已经学过的联系起来。又一次，老师和课本都会给出各种解释来讲减法的意思。在我曾教过的一个所谓的好学校里，这几乎引发了内战。一组老师想说明“5－3=2”的意思，或者它能表示什么时说：“要想得到5，我们要给3加上个什么数？”这是收款员在商店收款找零时的算法，他们已知你购买的物品的金额（3），然后加上应该找零的数字以凑成和你交出的钱的面值（5）相等的数。这是很有道理的算法。但另一组老师，包括低年级组的数学教导主任，抨击这种算法是“加法式的减法”，而且要求低年级老师不能或不应当允许孩子们如此去做减法。他说他们必须用“除去”的办法思考。
同时，孩子们在竭力记忆着所有这些互不相关的、没意义的算式，他们想依此来平息他们自身以及他们老师的焦躁，这就如同是在学一支不知所云的外语歌。这么过了大概一年，孩子们成了鹦鹉学舌地背算式的好手，但绝大多数终其一生也并没有真正弄懂它们——他们已经加入了“不懂数学”的人的庞大队伍。
而所有这些都是不应当发生的。
“2＋3=5”、“3＋2=5”、“5－2=3”，以及“5－3=2”，并不是四个没有关联的算式，而是以四种不同的方式去看待同一个事实。另外，算式并不是算术公式，不是那些需要死记硬背的无意义的音节。它是自然事实，孩子们可以自己发现并反复地向自己证明，想做多少次都可以。
这个事实就是：
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
如果你面前有一组物体，比如硬币或是石子，看上去像是左边的一组，你可以把它分成像右边那样的一组。或者（这就是双向箭头的功能），如果你有两组看上去像右边那样的物体，你也可以把它们摆成左边的样子。
这不是算术公式，而是自然的事实。并非只有当人们发明了算术它才成为公理。它和人类没有关系。它是通行宇宙的真理。人不需要通过学习算术才能发现或验证它。一个玩积木的婴儿或玩木棍的小狗也能做这样的操作，尽管婴儿和小狗或许谁都没注意到自己干了什么，对他们来说，＊＊＊ ＊＊ 和＊＊＊＊＊的区别就是没有区别。算术起源于人们开始注意并思考着包括这个在内的自然存在的数字事实。
在人类历史早期，人们发明了一些特殊的名称，用来研究与数目有关的事件的性质。比如，5只小猫，5只鞋，5个苹果，这几组事件的共性是每组具有相同的数量，因此，每一只小猫会有一只鞋和一个苹果，没有剩余。数字5的性质是它可以被分解成2和3。5的另一个性质是它还能被分解成4和1。5还有一个性质是，它只能有这样两种分解方法。如果是7，我们可以把7分解成6和1、5和2，以及4和3。换成10，可以得到9和1、8和2、7和3、6和4、以及5和5。每一个数字可以用不同的方式分解成两个两个的小数值，数字越大，可以分解的方式越多。（这个分解的方式有简单的规律可循，孩子们，包括大人，都会乐于自己去发现出来。）
一旦我们弄明白＊＊＊＊＊ = ＊＊＊＊＊ 是自然事实，就会懂得所谓“3＋2=5”、“2＋3=5”、“5－2=3”，以及“5－3=2”，不管是用符号还是文字表现（比如“加”、“加上”，或者“减去”），它们都不过是原始事实的四种方式而已。
这样有什么好处呢？好处在于不必去死记许许多多的“公式”了，只要记住有四种方式，这很合乎道理。一旦孩子们学会了把＊＊＊＊＊ =＊＊＊＊＊ 转换成“3＋2=5”或其他形式，他们就会同样地去看待其他数字，找出它们可以分解成为两个一组的形式，并把它们全部写下来。
所以，孩子可以用＊＊＊＊＊＊＊＊，试着找出把它分解成＊＊＊＊＊＊ 和＊＊的方式，写下来“6＋2=8”、“2＋6=8”、“8－2=6”，以及“8－6=2”，然后再
