投资中的数学问题-第3章
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涔核嵝趴煽诳衫止苫靼苁谐∈找媛实母怕收诓欢系厣仙⑸仙偕仙Ｄ敲窗头铺厥窃趺醋龅哪兀吭�1 9 8 8 ~ 1 9 9 8年间伯克谢尔·海舍威公司总共购买了可口可乐公司1 0亿美元的股票，占据了伯克谢尔证券投资总值的3 0％以上。到1 9 9 8年底这笔投资价值1 3 0亿美元。
凯利优化模式
每次踏入赌场，你成为赢家踏出赌场的概率都极低。对此你不用感到惊讶，我们都知道庄家有最佳的机会。但是有一种游戏，如果玩法正确可以给你合理的机会打败庄家—2 1点。
在一本全球畅销书《打败庄家： 2 1点游戏的获胜战略》（B e a t the Dealer： A Winning Strategy for the Game of Tw e n t y … o n e） 中，爱德华·桑波（Adward O。 Thorp），一位训练有素的数学家列举了智胜赌场的程序。
桑波的战略是基于一个很简单的概念。当一副牌里有很多1 0、大于1 0的头像牌及A时，玩家—也就是你—就占有打败庄家的统计优势。如果你给高分值牌分配… 1，低分值牌分配＋ 1，你很容易对所发出的牌进行跟踪；你只需保持在脑中记数，每出现一张牌，就增加一分或减去一分。当你数的数转成正数时，你知道有更多的高分值牌即将出现。聪明的玩家将他们的
最大赌注押在牌点数达到相对较高的数值上。深藏于桑波书中的原理是对凯利赌博模式的引用。而凯利赌博模式的灵感则源于克劳德·山奴（Claude Shannon）—信息理论的创始人。
克劳德·山奴是4 0年代贝尔实验室的一位数学家。他工作的多半时间花费在试图找到一种最理想的通过铜线来传输信息的方法，而此信息又不会受到不规则分子噪音的干扰。1 9 4 8年____在一篇题为“通信的数学原理”的文章中，他描述了他的发现。文章给出了如何将最大量的信息通过铜制电线传输的数学公式，公式考虑到信息传输的成功概率。
几年后，另一位数学家凯利（J。 L。 Kelly） 读了这篇文章，发现它的数学公式完全可以被用在赌博上。这是人类了解成功概率的又一努力尝试。1 9 5 6年凯利发表了“对信息率的新理解”一文。文中他指出，山奴的各种信息传送率与机会成功率实际上是一回事—都是概率问题—同样的公式可以用来优化二者。
凯利优化模式也可称为优化增长战略。它的原理是如果你知道成功的概率，你就将你资金的一部分押上从而优化你的增长率。它的公式可表达为：2p… 1 =X你应押上的资金的百分比（X）等于2倍的获胜概率减去1。例如，如果你打败庄家的概率为5 5％，你应该押上你资金的
1 0％来获取你赢局的最大增长。如果打败庄家的概率为7 0％，你就押上4 0％的资金。如果你知道获胜的机会为1 0 0％，凯利模式就会告诉你押上你赌资的1 0 0％。
凯利模式达到最优化有两个标准： （ 1 ）用最短的时间达到获胜的水平； （ 2 ）取得最大的财富增长。例如两个2 1点玩家，每个都有1 000美元的赌资并将玩2 4个小时。第一位玩家受限制每手发牌只能下注1美元。第二位玩家则可依照牌的有利与不利改变赌注。如果第二位玩家使用凯利模式，每次下赌的比例都反映获胜的概率，那么在2 4小时结束时，第二位玩家有很大的可能性打败第一位玩家。股市的情况比起2 1点来当然是更加风云变幻。2 1点游戏仅有有限的牌数和有限的概率结果。而股市则拥有成百种普通股，
更有成百万的投资者，它的结果也几乎是不尽其数。使用凯利第6章证券投资中的数学问题模式就要不断地在投资决策过程中进行调整和计算。然而凯利模式中的主要概念：将投资规模与概率成功率通过数学挂钩，对集中投资者具有重大意义。让我们还是借用上述两个赌家赌2 4小时这个例子。这次不赌2 1点，他们改在股市上进行投资。第一位投资者限制每次只
能投资他资金的1％，第二位投资者则允许根据其观察的成功概率来改变投资比例。哪位投资者在固定的期限内更有可能取得最大程度的资金增长呢？是这位明知每笔股票权重机会都不等但仍在每笔交易上都押1％的投资者呢，还是那位等待高概率机会的出现然后押大赌注的集中投资者呢？巴菲特在分配伯克谢尔的投资资金时是否应用了凯利优化模式我们无据可查。但是凯利的概念是一个理智的思维过程。从我的角度看，它明白无误地反映出巴菲特的思维过程。巴菲特曾敬告投资者要耐心等待，直到最佳机会出现，然后押大赌注。在任何情况下我都发现凯利模式作为一个数学解释是非常有用的，它有助于人们更好地理解证券资金的分配过程。我相信凯利模式对集中投资者是一种有魅力的工具。但是只有那些使用得当，反应灵敏的人才会从中受益。采用剀利模式是有风险的，所以了解它的三项制约不失为明智之举。
第一，任何投资者，不管是否使用凯利模式，都必须放眼进行长线投资。即使2 1点的玩家已掌握了打败庄家的模式，成功也未必能在前几副牌中显现出来。对投资也是同一道理。有
多少次投资者已选对了投资的公司，但市场对选对的公司在最终奖励的时间上却显得不紧不慢，悠闲自得。
其次，对使用借贷投资一定要谨慎。借贷股市投资的危险性（证券交易的顾客保证金账户）已被本·格雷厄姆和巴菲特大肆宣传过了。如果你在顾客保证金账户上使用凯利模式，股市
的下跌可能迫使你放弃你的高概率赌注。
第三，在玩高概率游戏时的最大危险在于下赌过高的风险。如果你判断某事件的成功概率为7 0％而实际上它的成功概率仅为5 5％，你冒着“赌徒灭顶之灾”的风险。减小这种风险的方法是保守下注—将凯利模式中的赌注减半或部分使用。这增加了你赌注的安全性而且提供了真实的心理舒适度。例如，如果凯利模式告诉你用你资金的1 0％下注（表明成功概率为5 5％），你可以选择投资5％（凯利赌注减半模式）。而凯利赌注百分比模式则为证券投资管理提供了安全边际。这种投资比率的安全边际加上选股的安全边际一起为投资提供了双层保护。
由于押注过度的风险大大超过了保守下注的惩罚，所以对于投资者—特别是刚刚涉足集中投资战略的投资者—应该使用凯利赌注百分比模式。不幸的是，减小你的赌注也减少了你潜在的收益。由于在凯利模式中赌注与收益的关系呈抛物线状，故保守下注所受到的惩罚并不严厉。在凯利赌注减半模式中，赌注减了5 0％，潜在的收益仅减少2 5％。
保险与投资一样
巴菲特说：“保险与投资很相似。如果你认为你每天都要投资，那你将会犯很多的错误。”成功的投资或成功的承保“都要等待肥的流油的机会出现。”沃伦·巴菲特进入保险业务的时间是1 9 6 7年，即伯克谢尔·海舍威购入国立赔偿公司（National Indemnity pany）
的那年。从那以后，巴菲特先后购入了几家保险公司。其中包括政府就业保险公司以及近期的通用再保险公司（General ReC o r p o r a t i o n ）。政府就业保险公司是一家汽车保险的直接承保商。由于公司直接将保险卖给客户，绕过中间代理商，故政府就业保险公司已成为低成本保险的供应商，目前拥有占据1 00亿美元的汽车保险市场业务的很大一部分份额的实力。通用再保险公司1 9 9 8年完成1 6 0亿美元的兼并，使伯克谢尔·海舍威公司成为全球范围内最大的超级灾难再保险商。超级灾难的保单由各大主要保险公司购买用于保护自己免受自然灾害—飓风或地震引起的金融损害。一般来说主承保人会选择在某一档次上承保某单一灾害事件的发生，然后通过另一承保人对此进行高门槛的再保。伯克谢尔·海舍威公司不仅为这些超级灾难的主承保人提供保险，而且也为防范最可怕事情发生的保险公司提供再保险业务。
为超级灾难保险定价是一件很棘手的业务，因为频数分布和精确的数据都不可得。（飓风和地震发生的次数都不足以建立可靠的统计数据；相反，汽车保险可以依赖大量数据的法则）。巴菲特说：“灾难承保商不能仅凭过去的经验推断。例如，如果‘全球变暖’真的发生，灾难发生的概率就会改变。因为气象条件的每一丝细微变化都会对天气情况产生巨大影响。”
巴菲特继续说：“而且，最近几年，人口的剧增使海岸保险的价值剧增。沿海地区是最易受袭击的地区，而飓风又是超级灾难的罪魁祸手。2 0年前，由飓风引起的x美元的赔偿现在很容易成为价值1 0 x美元的赔偿。”
由于很难预测地震或飓风的爆发时间，你可能会假定这些事件的预计概率完全是一场掷骰子游戏。但并非如此。巴菲特说：“既便分析风险达不到十分的准确，我们还是可以明智地
低线承保。毕竟，你无需知道一位老人的实际年龄就可知道他是否太老以至于不能参加选举。你也无需知道他的实际体重，就可知道他是否需要节食。巴菲特解释说：这不是一门精确的
科学，它的不确定性可能会使其他人不放心，但巴菲特很放心。他说：“我可以肯定地说我们有世界上最佳的人选—阿吉特·杰恩（Ajit Jain） 来经营我们的超级灾难业务，他对伯克谢尔·海舍威的价值是无比巨大的。”
阿吉特是伯克谢尔超级灾难业务的开创人也是“领路天才”。生于印度，毕业于哈佛商学院的阿吉特曾为I B M公司和麦肯锡咨询公司（McKinsey Consulting） 工作过，尔后他加盟
了伯克谢尔·海舍威公司的国立赔偿公司。阿吉特具有前瞻性，他看到了对大型超级灾难进行投保的与日俱增的需求，并且认识到伯克谢尔的财力使它具有从事此项业务的优势。
与巴菲特一样，阿吉特深刻地认识到主观概率分析这一技巧的重要性。“超级灾难业务的现状是我们没有多少有价值的数据可供分析。你所做的是从历史数据开始分析，然后做出某
种预测。它是一种非常主观的艺术形式。”超级灾难保险业务是低发生频率、高发生效果事件环境的典型范例。集中投资也是这样。你还记得吧，集中投资者很少下注，一旦下注就押在高概率事件上。如果管理得当，集中证券投资的失败频率较低，但失败真的发生了，后果将是惨重的，证券投资会遭受高于正常水平的重创。
我曾有机会问及查理·蒙格，集中投资与超级灾难保险之间的相似性。他笑着告诉我：“二者的思路是相似的。”如果真的如此，那么超级灾难保险的历史将会为我们对集中投资者的
预期找到些感觉。巴菲特说：“从本质上讲，超级灾难承保业务是所有保险业务中波动最大的一种。由于真正的大灾难极少发生，我们的业务在多数年份里可以预期较大幅度的利润—
偶尔也记录较大的损失。然而你必须明白，在超级灾难业务中，最可怕的年份不是可能发生灾难，而是肯定发生，惟一的问题是什么时候发生。”
在多数年份里获取大量利润，偶尔遭受大量损失，在某一年份遭受重�
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