如何阅读一本书-第39章

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　　其中的部分原因是没有人告诉我们，或是没有早点告诉我们，好让我们深人了解：数学其实是一种语言，我们可以像学习自己的语言一样学习它。在学习自己的语言时，我们要学两次：第一次是学习如何说话，第二次是学习如何阅读。幸运的是，数学只需要学一次，因为它完全是书写的语言。

　　我们在前面说过，学习新的书写语言，牵涉到基础阅读的问题。当我们在小学第一次接受阅读指导时，我们的问题在要学习认出每一页中出现的特定符号，还要记得这些符号之间的关系。就算是后来变成阅读高手的人，偶尔还是要用基础阅读来阅读。譬如我们看到一个不认得的字时，还是得去翻字典。如果我们被一个句子的句法搞昏头时，也得从基础的层次来解决。只有当我们解决了这些问题时，我们的阅读能力才能更上层楼。

　　数学既然是一种语言，那就拥有自己的字汇、文法与句法（Syntax），初学者一定要学会这些东西。特定的符号或符号之间的关系要记下来。因为数学的语言与我们常用的语言不同，问题也会不同，但从理论上来说，不会难过我们学习英文、法文或德文。事实上，从基础阅读的层次来看，可能还要简单一点。

　　任何一种语言都是一种沟通的媒介，借着语言人们能彼此了解共同的主题。一般日常谈话的主题不外是关于情绪上的事情或人际关系。其实，如果是两个不同的人，对于那样的主题彼此未必能完全沟通。但是不同的两个人，撇开情绪性的话题，却可以共同理解与他们无关的第三种事件，像电路、等腰三角形或三段论法。原因是当我们的话题牵涉到情绪时，我们很难理解一些言外之意。数学却能让我们避免这样的问题。只要能适当地运用数学的共识、主旨与等式，就不会有情绪上言外之意的问题。

　　除此之外，也没有人告诉我们，至少没有早一点告诉我们，数学是如何优美、如何满足智力的一门学问。如果任何人愿意费点力气来读数学，要领略数学之美永远不嫌晚。你可以从欧几里得开始，他的《几何原理》是所有这类作品中最清晰也最优美的作品。

　　让我们以《几何原理》第一册的前五个命题来作说明。（如果你手边有这本书，你该打开来看看。）基本几何学的命题有两种：（1）有关作图问题的叙述。（2）有关几何图形与各相关部分之间的关系的定理。作图的问题必须着手去做，定理的问题就得去证明。在欧几里得作图问题的结尾部分，通常会有Q。　E。　F。　（Quod　erat　faciendum）的字样，意思是“作图完毕”，而在定理的结尾，你会看到Q。　E。　D。　（Quod　eratdemonstrandum）的字样，意思是“证明完毕，，。

　　《几何原理》第一册的前三个命题的问题，都是与作图有关的。为什么呢？一个答案是这些作图是为了要证明定理用的。在前四个命题中，我们看不出来，到了第五个，就是定理的部分，我们就可以看出来了。譬如等腰三角形（一个三角形有两个相等的边）的两底角相等，这就需要运用上“命题三”，一条短线取自一条长线的道理。而“命题三”又跟“命题二”的作图有关，“命题二”则跟“命题一”的作图有关，所以为了要证明“命题五”，就必须要先作三个图。

　　我们也可以从另外一个目的来看作图的问题。作图很明显地与公设（postulate）相似，两者都声称几何的运作是可以执行出来的。在公设的案例中，这个可能性是假定（assumed）出来的。在命题的案例中，那是要证明（proved）出来的。当然，要这样证明，需要用到公设。因此，举例来说，我们可能会疑惑是否真的有“定义二0”中所定义的等边三角形这回事。但是我们用不着为这些数学物件是否存在而困扰，至少我们可以看到“命题一”所说的：基于有这些直线与圆的假定，自然可以导引出有像等边三角形这样东西的存在了。

　　我们再回到“命题五”，有关等腰三角形的内角相同的定理。要达到这个结论，牵涉前面许多命题与公设，并且必须证明本身的命题。这样就可以看出，如果某件事为真（也就是我们有一个等腰三角形的假设），并且如果其他某些附加条件也成立（定义、公设与前面其他的命题），那么另一件事（也就是结论）亦为真。命题所重视的是“若……则”这样的关系。命题要确定的不是假设是否为真，也不是结论是否为真—除非假设为真的时候。而除非命题得到证明，否则我们就无法确认假设和结论的关系是否为真。命题所证明的，纯粹是这种关系是否为真。别无其他。

　　说这样的东西是优美的，有夸大其词吗？我们并不这么认为。我们在这里所谈的只是针对一个真正有范围限制的问题．作出真正逻辑的解释。在解释的清晰与问题范围有限制的特质之中，有一种特别的吸引力。在一般的谈话中，就算是非常好的哲学家在讨论，也没法将问题如此这般说得一清二楚。而在哲学问题中，即使用上逻辑的概念，也很难像这样清晰地解说出来。

　　关于前面所列举的“命题五”的论点，与最简单的三段论法之间的差异性，我们再作些说明。所谓三段论法就是：

　　所有的动物终有一死；

　　所有的人都是动物；

　　因此，所有的人终有一死。

　　这个推论也确实适用于某些事。我们可以把它想成是数学上的推论。假定有动物及人这些东西，再假设动物是会死的。那就可以导引出像前面所说三角形那样确切的结论了。但这里的问题是动物和人是确切存在的，我们是就一些真实存在的东西来假设一些事情。我们一定得用数学上用不着的方法，来检验我们的假设。欧几里得的命题就不担心这一点。他并不在意到底有没有等腰三角形这回事。他说的是，如果有等腰三角形，如果如此定义，那一定可以导引出两个底角相同的结论。你真的用不着怀疑这件事—永远不必。

　　※　掌握科学作品中的数学问题

　　关于欧几里得的话题已经有点离题了。我们所关心的是在科学作品中有相当多的数学问题，而这也是一个主要的阅读障碍。关于这一点有几件事要说明如下。

　　第一，你至少可以把一些比你想像的基础程度的数学读得更明白。我们已经建议你从欧几里得开始，我们确定你只要花几个晚上把《几何原理》读好，就能克服对数学的恐惧心理。读完欧几里得之后，你可以进一步，看看其他经典级的希腊数学大师的作品—阿基米德（Archimedes）　

　　；阿波罗尼乌斯（Apollonius）；尼科马科斯（Niachus）。这些书并不真的很难，而且你可以跳着略读。

　　这就带人了我们要说的第二个重点。如果你阅读数学书的企图是要了解数学本身，当然你要读数学，从头读到尾—手上还要拿枝笔，这会比阅读任何其他的书还需要在书页空白处写些笔记。但是你的企图可能并非如此，而是只想读一本有数学在内的科学书，这样跳着略读反而是比较聪明的。

　　以牛顿的《自然哲学的数学原理》为例，书中包含了很多命题，有作图问题与定理。但你用不着真的每一个都仔细地去读，尤其第一次从头看一遍的时候更是如此。先看定理的说明，再看看结论，掌握一下这是如何证明出来的。读读引理（lemmas）及系理（corollaries）的说明，再读所谓旁注（scholiums）（基本上这是讨论命题与整个问题之间的关系）。这么做了之后，你会看到整本书的全貌，也会发现牛顿是如何架构这个系统的—哪个先哪个后，各个部分又如何密切呼应起来。用这样的方法读这本书，觉得困难就不要看图表（许多读者是这么做的），只挑你感兴趣的内容来看，但要确定没错过牛顿所强调的重点。其中一个重点出现在第三卷的结尾，名称是“宇宙系统”，牛顿称之为一般的旁注，不但总结了前人的重点，也提出了一个物理学上几乎所有后人都会思考的伟大问题。

　　牛顿的《光学》（Optics）也是另一部伟大的科学经典作品，你应该也试着读一下。其实书中谈到的数学部分不多，但你一开始看时可能不这么认为，因为书中到处都是图表。其实这些图表只是用来说明牛顿的实验：让阳光穿过一个小洞，射进一个黑暗的房间，用棱镜截取光线，下面放一张白纸，就可以看到光线中各种不同的颜色呈现在纸上。你自己就可以很简单地重复这样的实验，这是做起来很好玩的事，因为色彩很美丽，而且描绘得一清二楚。除了有关这个实验的形容，你还会想读一下有关不同定理或命题的说明，以及三卷书中每卷结尾部分的讨论，牛顿在这里会对他的发现作个总结，并指出其意义。第三卷的结尾尤其出名，在这里牛顿对科学这个行业作了一些说明，很值得一读。

　　科学作品中经常会包括数学，主要因为我们前面说过数学精确、清晰与范围限定的特质。有时候你能读懂一些东西，却用不着深人数学的领域，像牛顿的书就是个例子。奇怪的是，就算数学对你来说可怕得不得了，但是一点也没有数学有时造成的麻烦还可能更大呢！譬如在伽利略的《两种新科学》中，这是物质能量与运动的名作，对现代读者来说特别困难，因为基本上这不是数学的书，而是以对话形式来进行的。对话的形式被诸如柏拉图的大师运用在舞台或哲学讨论上，非常适合，运用在科学的讨论上就不太适合了。因此要明白伽利略到底谈的是什么其实是很困难的。不过如果你试着读一下，你会发现他在谈一些革新的创见。

　　当然，并不是所有的科学经典作品都用上了数学，或是一定要用数学。像希腊医学之父，希波克拉底（Hippocrates）的作品就没有数学。你可以很容易读完这本书，发现希波克拉底的医学观点—预防胜于治疗的艺术。不幸的是，现代已经不流行这样的想法。威廉·哈维讨论血液循环的问题，或是威廉·吉伯特讨论磁场的问题，都与数学无关。只要你记住，你的责任不是成为这个主题的专家，而是要去了解相关的问题，在阅读时就会轻松许多。

　　※　关于科普书的重点

　　从某一方面而言，关于阅读科普书，我们没有什么更多的话要说了。就定义上来说，这些书—不论是书或文章—都是为广泛的大众而写的，而不只是为专家写的。因此，如果你已经读了一些科学的经典名作，这类流行书对你来说就毫无问题了。这是因为这些书虽然与科学有关，但一般来说，读者都已经避免了阅读原创性科学巨著的两个难题。第一，他们只谈论一点相关的实验内容（他们只报告出实验的结果）。第二，内容只包括一点数学（除非是以数学为主的畅销书）。

　　科普文章通常比科普书要容易阅读，不过也并非永远如此。有时候这样的文章很好—像《科学美国人》（Scientific　American）月刊或更专业的《科学》（Science）周刊。当然，无论这些刊物有多好，编辑有多仔细多负责任，都还是会出现上一章结尾时所谈到的问题。在阅读这些文章时，我们就得靠记者为我们过滤资讯了。如果他们是好的记者，我们就很幸运。如