逻辑学 上卷作者_德黑格尔着杨一-第44章

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位的分数、即由比率而成，那却与这里的问题无关；因为这种情况所涉及的，
只是这些大小的特种单位，而不是构成数目那样的大小；正如由多数符号构
成的十进位系梳的一个整数，本质上被当作数目，而并不管它是由一个数和
十这个数及其方幂的乘积所构成的那样。所以这个问题也不在于除我们所举
的例2/7　以外，还有其他造成十进位分数的分数，并没有发生无限的系列；
每一个分数都可以用与此不同的单位的数的体系来表示。

无限的系列应该把分数表现为数目，现在分数的比率方面既然在这个无
限系列中消失了，那么，，以前指出过的，分数从比率得到无限性的那一方
面也就消失了。但是这样无限性却以另一种方式进来了：系列本身就是无限
的。

系列的无限属于哪一类，现在也是很明显的：这是进展的坏的无限。系
列包含并表现着矛盾，那就是它要把比率和其中具有质的本性这样的东西，
表现成一个没有几率的东西，一个单纯的定量或数目。其结果是：系列中表
现的数目总是缺少了一点什么东西，以致为了达到所要求的规定性，总是必
须超出已经建立的东西。进展的规律是大家熟知的，它就在分数所包含的定
量规定中和应当表现这种规定的形式的性质中。数目固然可以由系列的继续
延长，使其需要多么精密便有多么精密；但是由系列所表现出来的，仍然永
远只是一个应当；这种表现总是带着一个扬弃不掉的彼岸，因为把一个依靠
质的规定的东西表现为数目，就是一个永存的矛盾。

无限系列中现实当前的那种不精密，在真的数学无限里却只是表面现
象。这两类数学的无限，和两类哲学的无限一样，决不可以混淆。表现真的
数学无限物，早就开始用过系列的形式，甚至近来也重又引用。但是这种形
式对它并不是必要的；恰恰相反，下面将会指出无限系列的无限物与那种真
的数学无限物有本质的区别。无限系列不如就是比分数的表现形式甚至还要
低下一些。

无限系列包含着坏的无限，因为系列所应该表垠的东西，仍然是一个应
当，而它所表现出来的东西，又带着一个不会消失的彼岸，与它所应该表现
的东西不同。无限系列之所似是无限的，并非为了被建立起来的各项的缘故，
而是因为这些项不完全，因为有一个本质上属于这些项的他物，是它们的彼
岸；建立的项无论愿意怎么多，便怎么多，而系列中实有的东西却仍然只是
一个有限物，就真正的意义税来，是被建立为有限物，即它不是它应该是的
那样的东西。与此相反，这种系列的所谓的有限的表现形式或总和却并没有
欠缺；它所包含的值是完全的，而系列却只是在寻找这个值；彼岸从逃跑中
被召回来了；这种表现形式是什么和它应该是什么并浚分离，而是同一的东
西。

这两者区别所在，较确切地说，就是：在无限系列中，否定物是在它的
各项之外的，这些项仅仅由于被当作数目的部分而当前现在。与此相反，有
限的表现形式是一个比率，否定物在这个形式中，作为比率两端的相互规定，
是内在的，这个相互规定回归到自己，是自身相关的统一，是否定之否定（比
率两端都是环节），于是在自身中也就有了无限性的规定。——这样，寻常
所谓总和，如2/7　或1/1…a，事实上就是一个比率；而这个所谓有限的表现
形式就是真的无限的表现形式。反之，无限系列倒真的是总和；它的目的是
要把本身是比率的东西，以一个总和的形式来表现，而系列现有的各项不是
一个比率的项，而是一个总积（Aggregat）的项。另一方面，系列还不如说
是有限的表现形式；因为它是不完圣的总积，木质上仍然是有缺憾的。系列
就其实有的东西而言是一定的定量，但同时又是一个较少于本身应该有的定
量；而系列所缺少的东西也同样是一个一定的定量；所缺少的部分事实上正
是系列中称为无限的那个东西，就仅仅形式方面说，这个部分是一个缺少的
东西，一个非有；就它的内容说，它是一个有限的定量。在系列中实有的东
西痤同所缺少的一起，就构成了分数那样的东西，这是系列应该是而又不能
够是的一定的定量。无限这个字，即使在无限系列中，也常常被人以为一定
是某种高尚尊严的东西，这是一种迷信，知性的迷信；我们已经看到了它倒
不如说是耍归秸到有缺憾的规定上去。

还可以说，其所以有不能总和的无限的系列，就系列形式而言，那完全
是由于外在而偶然的情况。它们比能总和的无限系列，含有较高极的无限性，
即不可通钓性（Inkommensurabilitat），或者说不可能把其中所含的量的比
率表现为定量，即使是表现为分数也不可能。但是它们所具有的系列形式，
本身却含有与能总和的系列中相同的坏的无限规定。

数学的无限物——不是方才所说的，而是真的数学的无限物——被称为
相对的无限物；通常的形而上学的无限物——这该是被了解为抽象的、坏的
无限物——却反而被称为绝对的无限物；这里也就有了以前在分数和分数的
系列那里所看到的名词的颠倒。事实上，这个形而上学的无限物倒只是相对
的，因为它所表现的否定仅仅是与一个界限对立，即界限仍然在它之外长留，
并不被它捌弃；数学的无限物则与此相反，真的把自身中的有限的界限扬弃
了，因为界限的彼岸与界限联合了。

一个无限系列的所谓总和或有限的表现形式，在方才陈述过的意义之
下，倒应该被认为是无限的，尤其是斯宾诺莎曾树立真的无限概念来与坏的
无限概念对立，并用例子加以说明。当我将他关于这方面的说法和我的这种
解释联系起来时，他的概念就极共明白了。

他首先把无限物定义为任何性质的存在的绝对肯定，相反地，有限物却
是规定性、是否定。①当然，一种存在的绝对肯定必须认为是它的自身关系，
而不是由于有一他物：反之，有限物则是否定，是与一个他物的关系的终止，
这个他物是在它以外开始的。一种存在的绝对肯定，当然没有穷尽无限的概
念。这个概念之包含无限，即肯定，并不是作为直接的肯定，而只是通过他
物在自身中的反思而恢复的肯定，或说是否定物之否定。但是在斯宾诺莎那
里，实体及其绝对统一还只有不动的，即不是自己以自己为中介的统一形式，
是一种僵硬的形式，其中还浚有自身的否定的统一这样概念，还没有主观性。
他说明真的无限物所用的数学例子（《书信集》，Epist。XXIX），是两
个不相等的圆之同的空同，一个圆落在另一个圆之内而又不碰到它，并且这
两个圆不是同心的。他似乎很看重这个几何形状和用这形状为例的概念，以
致把它作为他的伦理学的公则。②他说：“数学家结论说，在这样的空间中可
能的不相等是无限的；那些不相等，不是由于无限数量的部分（因为这样的
空同的大小是确定的、立了界限的，而且我可以建立较大的或较小的这样的
空间），而是因为事物的本性超出了任何规定性。”可是斯宾诺莎抛弃了把
无限物想像为没有完成的数量或系列的那种设想，提醒人们这里所举的空间
的例子，无限物不是彼岸，而是当前现在、已经完成了的；这个空间是一个
立了界限的，但它所以是无限的，是“因为事物的本性超出了任何规定性”，
因为其中所包含的大小规定不能表现为定量，或依照上述康德的说法，把它
综合为一个分立的定量是不能完成的。

①　见斯宾诺莎《伦理学》第一部分，命题八，附释一。贺麟译本第7　页。——译者

②　按指《伦理学》第一部分，公则（五），贺麟译本第4　页，以下引文，仍是《书信集》中语。——译者

——连续定量和分立定量的对立如何
一般地导引出无限物，这应该在下一注释中讨论。那种在一个系列牛的无限，
斯宾诺莎称之为想像的无限物：另一方面，他称自身关系的无限物为思维的
无限物或现实的无限物（infinitum　actu）。它之所以是现实的（aciu）无
限，是因为它是已完成的和现在的。这样，0。285714？？或1＋a＋a2＋a3？？
等系列便仅仅是想像的、或意见的无限物，因为它们没有现实性，总是缺少
点什么：反之，
2
7
或
1
1…　a
都是现实的无限物，不仅有系列中现在各项的东西，
并且还有系列所缺少而只是应该有的东西。
2
7
或
1
1…　a
同样是一个有限的大小，就像斯宾诺莎封闭在两个圆之同的空同及其各种不
相等那样，并且也像这个空间那样可以使其较大或较小。但是并不因此而发
生较大或较小的无限物那种荒谬事情；因为这个整体的定量与它的环节的比
率，与事物的本性、即与质的大小规定无关：那在无限系列中实有的东西，
同样是一个有限的定量，但除此之外，它还是一个有缺憾的东西。想像对于
它仍然停留在定量本身那里，并不曾反思质的关系，而质的关系却构成现存
的不可通约性的基础。斯宾诺莎例子中所包含的不可通钓性，其中一般地包
含了曲线函数，更确切地说，导致了数学在这样的函数里，或一般地说，
在变量的函数里所引用的无限，这是真的数学的、质的无限，
也就是斯宾诺莎所想的无限。我们在这里要详细说明这种规定。

首先是关于可变性这样重要的范畴，函数中相关的大小就是在这个范晴
下被把握的。这些大小之可变化，其意义并不应该是像分数
2
7
中2　和7　两个

数那样，因为同样可以用4　和14，6　和21　等等以至无限的其他的数来代替而
不改变这个分数中所定的值。对
a
b
同样也可以用任何数代替a　和b　而不改变
a
b
所应该表现的值。现在的意义是：对于一个函数中的x　和y，也可以用一
个无限的、即不可穷尽的数量的数来代替，a　和b　是与那x　和y　同样可变化
的大小。因此，为大小规定选择了变量这一名词是很含糊而不幸的，这种大
小规定的有兴趣之处及其处理方式，是在与单纯可变性完全不同的地方。
数学高等分析满怀兴趣地从事于研究一个函数的环节，为了弄明白这些
环节的真正规定何在，我们必须再经历一遍前面已经注意过的阶段。在
2
7
或
a
b
中，2　和7　每一个本身都是规定了的定量，关系对于它们是不重要的：a
和b　也同样代表这样的定量，它们在比率之外也仍然是它们原来的样子。此
外，
2
7
和
a
b
也是一个固定的定量，一个商数：比率构成一个数目，分母表示
数目的单位，分子表示这些单位的数目，或倒过来说也可以；即使4　和14
等等代替了2　和7，比率作为定量仍然是同一的。但是这一点在譬如
y
x
2
＝p
的面数中却有了本质的改变；这里x　和y　固然有可以是确定的定量的那种意
义，但x　和y　却没有确定的商数，而只是x　和y2　才有。所以这个比率的两端
不仅第一、不是确定的定量，而且第二、它们的比率也不是一个出定的�