逻辑学 上卷作者_德黑格尔着杨一-第43章

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弃的解法，同时数学又对这些无限的大小和有限的定量都一样处理，想应用
对它们都有效的同样方法。为超经验的规定及共处理取得普通的针算形式，
是这阴科学成长的一个主要方面。

数学在不同运算的冲突中，表现出它由此而找到的结果，与用真正数学
的、几何的、解析的方法所找到的，是完全一致的。但一方面并非一切结果
都是这样，而引人无限的目的，也不仅仅在于缩短通常的路程，而是要达到
用这些方法所不能导致的结果。另一方面，成果自身并不就验证了所采取的
途经的方式有道理。但是无限的针算方式显出了以它被卷人貌似的不精确而
遭到困难，因为它先以一个无限小量来增加有限的大小，而在风后的运算中，
对这些大小又保留一部分，省略一部分。①这种解法的古怪之处，就是尽管承
认了这种不精确，而所得的结果，却小仅是误差可以无须注意的大概或近似，
而是完全精确。我们在结果以前的运算时，总不免想像有些定量不等于零，
但是微不足道，可以不如注意。但是在我们所了解的数学规定性那里，一切
精确性较大或较小的区别都完全抛掉了，正如在哲学中，所能谈到的，只有
真理，而不是较大或较小的概然性。假如无限的方法及使用由于成果而得到
辩护理由，那么，不管这个成果而要求对方法的辩护理由，这并不像问鼻子
耍使用鼻子的权利证明那样多余志因为数学知识之所以是科学的知识，主要
就在于证明，至于结果，其情况也是如此，因为严格的数学方法并不是对一
切都提供了成果的标记，而这种标记，无论如何，也只是外面的标记。
值得费些力量去仔细考察无限的数学概念，和有些很可以注目的尝试，
那些尝试的意图在于论证这种概念的使用，消除方法所感到的很难受的困
苦。在这个注释里，我耍较广泛地从事考察对数学无限的论证和规定，这种
考察将对其概念的本性投下最好的光明，也将指出这个概念如何浮现在这些
论证和规定的面前并为它们立下基础。

①　参看第121　页。

数学无限的通常规定是：它是一个这样的大小，假如它被规定为无限大，
那么在它以上就没有巨大的；假如它被规定为无限小，那么在它以下也没有
更小的；或者说在前一种情形，它比任何大小都更大，在后一种情形，它比
任何大小都更小。这个定义当然并没有表现真概念，倒不如就是像从前已经
说过的无限进展中购那个同样矛盾。但是我们还是看看那里所包含的东两本
身是什么吧。数学为一个大小所下的定义是：大小是某种可以增加和减少的
东西，——一般说来，这就是一个漠不相关的界限。现在无限大或无限小既
然是这样一个不再能增加或减少的东西，那么，事实上它也就不再是定量本
身了。

这一结论是必然的、直接的。但是定量（我在这个注释中如实地称一般
定量为有限的定量）被扬弃这种不常有的想法，却为普通理解造成困难，因
为定量既然是无限的，那就要求设想它是被扬弃了的，是一个已非定量而仍
然留有它的量的规定性那样的东西。

这里我们引证一下康德对这种规定是如何判断的。①他发现这种规定与人
们所了解的无限的整体并不一致。“根据普通概念，一个大小，假如不可能
有更大的超过它时（即超过其中所包含的一定单位的数量），它就是无限的；
但是没有一个数量是最大的，因为总可以再加添上一个或多个的单位。——
另一方面，通过一个无限的整体，也不会想像出它有多么大；所以它的概念
不是一个最大限度（或最小限度）的概念，而是通过无限的整体来设想它与
一个任意采取的单位的关系，就单位而言，无限的整体比一切数都更大。无
限物随着所采取的单位较大或较小而较大或较小；但是无限物，因为它的存
在仅仅由于与这种已知单位的关系，却永远仍然是一样的，尽管整体的艳对
大小当然完全不会由此而知道。”①

康德斥责把无限整体看作一个最大限度，看作一定单位的已完成的数
量。最大限度或最小限度本身总还像是一个定量或数量。这样的观念无法避
免康德所举出的后果，会引致较大或较小的无限物。一般说来，既然把无限
物想像成定量，那么，较大或较小的区别也就仍然会对无限物有效。但是这
种批评，对于真的数学无限物的概念，无限差分的概念，却是无的放矢，因
为无限差分已不再是有限的定量了。

康德的无限概念，恰恰与此相反。他所谓的真的、先驗的概念，是“测
量一定量时永远不能完成单位的继续综合”。②这是假定了一个一般的定量作
为已经给与的；它应该由于单位的综合而成一个数目，一个被确定指明的定
量，但是这种综合又永远不能完成。③这里所表示的，显然不过是无限进展，
只是被想像为先驗的，即本来是主观的、心理的罢了。就本身说，定量诚然
应该是完成了的，但是就先驗的方式说，即在主观中（主观给它一个与单位
的关系），却只发生了一个这样的定量的规定，它没有完成而绝对带着一个
彼岸。所以这仍然是停留在大小所包含的矛盾里，但是这个矛盾却被分配给
对象和主体了；对象得到的是定立界限，主体得到的是超出主体所把握的每
一规定性而进入坏的无限另一方面，前面已经说过，数学无限物的规定，如
高等分析中所使用的，诚然与真的无限概念符合，现在却应当对这两种规定
的比较，作更祥棚的阐释。

①　见《纯粹理性批判》中对宇宙论第一个二律背反正题的注释。——黑格尔原注

①　《纯粹理性批判》，蓝译本，第332　页，中间删略了关于世界和时空的几句话——译者

②　《纯粹理性批判》，蓝译本，第333　页，重点是黑格尔加的。——译者

③　参看第122　页。

关于真的无限的定量，首先就是它自己规定本身
是无限的。它之所以如此，因为正如以前看到过的，有限的定量（或者说一
般定量）和它的彼岸，即坏的无限，，都同样被扬弃了。扬弃了的定量因此
回复到单纯性和自身关系，但是这不仅仅像外延定量那样，因为当外延定量
过渡到内涵定量之时，内涵定量只是＊身在外在的杂多中才有其规定性，但
对于规定性既应当漠不相关，又应当有差异。无限的定量则是在它那里含有
（1）外在性，（2）这种外在性的否定；所以它不再是任何有限的定量，不
再是一个以定量为实有的大小规定性，而是单钝的，因此只是环节。无限的
定量是一个在质的形式中的大小规定性，它的无限性必须是一个质的规定
性。这样，作为环节，它本质上是在和它的他物统一之中），只有通过它的
这个他物，才是被规定了的，即它只在对一个同它处于比辛中的东西有关系
时，才有意义。在比率之外，它就是零；——因为定量本身对比率应当是漠
不相关的，而在比率中却应当是一个直接的、平静的规定。它在比率中只作
为环节，便不是一个自为的漠不相关的东西；由于它同时又是一个量的规定
性，所以它在作为自为之有的无限性中，只是一个为—（Fiir…Eine）的东西。
无限物的概念，这里还只是抽象地展示出来；假如我们把定量当作一个
比率环节，观察它所表现的各个阶段，从它同时还是定量本身这一最低的阶
段起，直到它获得无限大小的真正意义和表现这种较高的阶段为止，那么，
无限物的概念就将显出是为数学的无限物奠立基础，它的本身也将更为明
白。

我们试先取一个比率中的定量，如一个分数。例如2/7　这个分数，它并
不像1，2，3　等等定量，它固然是一个普通的有限的数，但不是一个直接的
数，如整数那样，而是由两个其他的数同接规定的分数；那两个数互为数目
和单位，而单位也是一确定的数目。但是假如将这两个数相互的密切规定抽
掉，只就现在它们在质的关系中恰巧是定量这一点来观察，那么，2　和7　在
另外的地方就是漠不相关的定量；但是在这里，由于它们仅仅出现为彼此的
环节，从而第三者（即被称为指数的定量）也出现了，所以它们并不是立刻
被当作2　和7，而只是依照它们的相互规定性才能有效。因此可以同样用4
和14，或6　和21　等等以至无限来代替它们。这里，它们开始有了质的特性。
假如它们被当作只是定量，那么2　和7　便是：一个绝对只是2，另一个绝对
只是7，4，14，6，21　等等也都绝对与这个数不同，而以上等等数既然只是
直接的定量，它们也就不能够彼此代替。但是2　和7　既然依照规定性，不被
当作是这样的定量，那么，它们的漠不相关的界限便扬弃了。于是从这一方
面看来，它们便包含了无限性的环节；因为它们不仅不再是它们本身，而且
它们的量的规定性仍然保督，但是叉作为一个自在之有的质的规定性而保留
——即依照它们在比辛中的值。可以用无限多的别的数来代替这两个数，而
分数则由于比率所具有的规定性，其值并不改变。

但是分数所表现的无限性仍然还不完全，这是因为分数的两项2　和7　可
以从比率中取出来，而它们这样便是普通的漠不相关的定量；至于它们既是
在比率中叉是环节，这种关系对它们就来倒是某种外在的、漠不相关的东西。
它们的关系本身也同样是一个普通的定量，即比率的指数。

普通算术运算所用的字母，是提高数到普遍性的第一步，字母并没有一
定数值的那种特性，只是每一确定值的一般符号和不确定的可能性。因此分
数a/b　像是无限物的较适合的表现，因为a　和b　从它们的相互关系取出来，
仍然是不确定的，即使分离以后，它们也没有自己的特殊的值。这两个字母
固然被当作不确定的大小，但其意义却是它们可以是任何一个有限的定量。
这样，它们诚然是一般的想像，但又只是确定的数的想像，既然如此，它们
之在比率中这一点，于它们说来，是不相干的；它们在比率外，也保持这个
值。

我们更仔细观察一下比率中所呈现的东西是什么，那么，在比率中就有
两个规定，一是一定量，二是这个定量不是直接的，而是其中有质的对立：
它之所以在比率中仍然是确定的、漠不相关的定量，因为它从它的他有、从
对立回复到自身，从而是无限物。这两种规定，以下面的大家熟知的形式来
表现它们的相互区别的展开。2/7　个分数可以表示为0285714？？，1/1…a　这
个分数可以表示为1＋a＋a2＋a3＋？？等等。这样，分数就是一个无限的系
列；分数本身意谓着这个系列的总和或有限的表现形式。比较一下这两种表
现形式，那么，无限系列那一种表现形式就是不再把分数表现为比率，而是
依照这样的方面来表现它，即分数作为一定数量的彼此相加的东西，作为数
目，是定量。至于这些大小应该把分数作为数目来构成，而本身又是由十进
位的分数、即由比率而成，那却与这里的问题无关；因为这种情况所涉及的，