投资学(第4版)-第207章
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768 第八部分附录
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图A…8 在原假设下样本的平均超额收益应在零周围分布
注：如果真实的平均超额收益为z ，我们的结论为原假设是错误的。
如果样本均值落在临界值的右边（即落在拒绝域），原假设即被拒绝；否则原假
设就被接受。在后一个情况下，正的样本均值就极有可能（也就是大于5％）是由样本
误差所致。如果样本均值大于临界值，我们就拒绝原假设，接受备择假设。由误差引
起该正的样本均值的概率会小于5％。
如果和该例一样备择假设是单边（单尾）的，那么接受区域就是负无穷到某区值，
而大于该正值的概率为5％。图A … 8中的临界值即为z 。当备择假设是双边的，5％的面
积就会平分于两个分布的极端，且各为2 。 5％。比较而言，双边检验要更严格一些（也
就是要拒绝原假设更难）。在单边检验中，我们可以根据原假设来预测样本均值偏差
的方向。这一事实将对备择假设更为有利。为了解决该问题，对于显著水平为5％的单
边检验，我们常用显著水平a/ 2＝0 。 0 2 5的双边检验来代替。
假设检验需要对样本均值、样本方差等检验指标的概率分布作出必要的评价。为
此，我们需要对所分析随机变量的概率分布作出一定的假设。这样的前提假设是原假
设整体的一部分，而且常常是一个隐含的条件。
在本例中我们假设股票的超额收益服从正态分布。检验指标的分布是从指标的数
学定义和随机变量概率分布的假设中推出的，这里我们的检验指标是样本均值。
把所有观测值加总（T＝6 8），然后乘以1 /T＝1 / 6 8，所得的平均值即为样本均值。
每一个观测值都是一个随机变量，它们独立地服从同一个期望为
、标准差为
的概率
分布。所有观测值和的期望就是T个期望（都等于
）的和，除以T后即为个体均值的
估计。计算结果为8 。 5 7％，其等于实际期望值加上样本误差。在原假设成立的条件下，
实际期望值为零，于是整个8 。 5 7％都是样本误差。
为了计算样本均值的方差，我们假定所有观测值相互之间是独立的，或者说是不
相关的。因此和的方差即为方差的和，也就是个体方差乘以T。但是，由于我们对和
2
一般要进行乘以1 /T的处理，因此我们需要对方差和T
除以T2。结果我们得到样本均
值的方差即为个体方差除以T。样本均值的标准差，一般称为标准误差，为：
1/2 1/2
0。209 0
（样本均值） = 。。
è T12
。 2。÷
。
=
。
è
。
T12
T 2。÷ = 0。025 3 （A…2 7）
。
T
68
我们的检验指标具有2 。 5 3％的标准偏差，而且，似乎观测值的数目越大，期望估
计的标准误差就越小。但是，注意“方差”下降的比例较大，为T=6 8；而“标准误差”
下降的比例仅为
T = 8 。 2 5，该数值显然较小。
我们得到了样本均值8 。 5 7％和其标准差2 。 5 3％，而且知道在原假设成立的条件下其
服从正态分布，现在就可以进行检验了。我们想要做的是确定8 。 5 7％是否已经足够地
大于零。我们先使检验指标标准化，这个过程就是我们对指标减去原假设中的期望值，
然后再除以它的标准偏差。现在这个标准化的指标就可能同标准正态表中的正值进行
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附录A 定量计算的复习
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比较了。我们想问以下不等式是否成立：
R … E（R）
》 z
还有一个问题需要解决。检验指标的正态性假设是完全成立的，因为它是许多正
态分布随机变量（根据收益的假设）的加权和；因此它也是服从正态分布的。但是，
以上的分析步骤要求我们知道其方差，而这里我们只是用样本方差来作为实际方差的
估计。
该问题的解决是比较简单的，只需把标准正态分布替换成学生t分布（S t u d e n t … t）即
可。和正态分布一样，t分布是对称的。它依赖于自由度，数值上等于观测数目减1。
因此，我们只要把z 替换成t ，T－1即可。
现在的检验变成：
R … E（ R）
》 ta；T…1
当我们把样本数据代入上式后，左边就是一个标准化的检验指标，而右边是从t分
布表中得到的
=0 。 0 5，T…1 = 6 8…1 = 6 7的t值。我们想知道的是该不等式是否成立。如果
成立，我们就以5％的显著水平拒绝原假设；如果不成立，我们就不能拒绝原假设（在
该例中，t0 。 0 5；6 7= 1 。 6 7）。我们发现：
0。085 7 … 0
= 3。39 》 1。67
0。025 3
在该例中不等式成立，因此我们拒绝原假设，并认为备择假设正确，即存在正的
风险溢价。
如果以1 9 6 5年至1 9 8 7年的数据对假设再进行一次检验，你可能会产生一些疑问。
该期间的样本均值为3 。 1 2％，样本标准差为1 5 。 5 7％，自由度为2 3…1＝2 2，这些数字是
否给了你第二种看法？
回归系数的t检验
假设我们以简单回归模型（等式A … 2 1）来描述政府长期债券资产组合与股市指数
之间的关系。利用表A … 3中的样本数据，我们回归的估计结果为（％每年）：
a=0。991 3，b=0。072 9，R2=0。032 1
我们对这些数字的解释如下：对于当市场指数超额收益为零的时期，我们期望债
券能获得9 9 。 1 3个基本点的超额收益，这是截距的作用。对于斜率来说，只要每年股票
资产组合有1％的收益。债券资产组合就应该能多获得7 。 2 9个基本点的收益。在样本期
内，股权的平均风险溢价为8 。 5 7％。因此债券的样本平均为0。991 3＋（0。072 9×8 。 5 7）
=1 。 6 2％。从相关系数平方这一项可以看出，在债券收益变化中，仅有3 。 2 1％可由股票
的方差作出解释。
但我们是否可以完全相信这些统计数据呢？一个解决方法是进行假设检验，这里
主要是对回归系数b所做的检验。
H0：b=0 回归系数为零，这意味着解释变量的变化不能引起被解释变量的变化
H1：b》0 被解释变量对解释变量的变化较敏感（两者之间协方差为正）
任何一个像样的回归软件都能对统计数字进行这种假设检验。通常，回归时需要
假设被解释变量和干扰项都服从正态分布，而且都可以从样本中估计出分布的方差。
于是回归系数b也服从正态分布。因为原假设仍为b= 0，我们所需做的只是对该指标的
标准差进行估计。
回归系数标准差的估计可以从干扰项标准差估计与解释变量标准差估计中得到。
对于这个回归，b的标准差估计为s（b）=0。049 3，正如前面的做法一样。检验的临界
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值是
s（b）t
；T… 1
把它与系数b进行比较，如果
b》s（b）t
；T…1
我们就可以拒绝原假设，从而认为b》 0。由于s（b）是正数，于是上述不等式可以写
成：
b
s（b）
》 ta；T…1
t检验会给出系数估计值与其标准差估计值之间的比值。有了这个t值，再加上观
测数目T，以及学生t分布表，你就可以在你所要的显著性水平上进行检验了。
在我们的例子中，t值为0。072 9/0。049 3＝1。478 7。自由度为6 8，显著性水平为5％
的t表显示我们不能拒绝原假设，因为此时临界值为1 。 6 7。
下面是1 9 8 7年注册金融分析师（ C FA ）考试的一道考题。通过它，我们会对回归分
析与假设检验有进一步的了解。
问题：
一位学者告诉你，普通股的收益多少将取决于该公司的市场资本化程度、公司盈
利增长的历史、股票的现期收益以及公司的职员是否工会化，而你对这个观点持怀疑
态度。因为，你认为除了
这个市场指标外，再没有其他的因素可以解释样本中不同
证券的不同收益。
但是，你还是决定对是否存在其他因素能解释收益差别作一下检验。你以标准普
尔5 0 0指数的股票作为样本，然后对5年来每个月的收益和每个月初的公司资本化程度
进行回归。检验的因素还包括1 2个月来公司的盈利增长、上一年的股利除以每月初的
股价，以及一个反映公司工会化的虚变量（当职员有工会组织时，变量取1；若没有，
则取0）。
1。 回归所得R2的平均值为0 。 1 5，而且月与月之间的变化很小。讨论一下这个结果
的意义。
2。 如果在回归计算的极大部分月份中你所得的因素系数都具有大于2的t检验值，
分析一下这些因素的收益解释能力。
3。 在许多回归方程结果中你发现虚变量的系数为－0 。 1 4且其t值为－4 。 7 4。根据此
信息，分析工会化与公司普通收益之间的关系。
答案：
1。 这些因素的所有变化能对标准普尔5 0 0指数中股票的收益变化作出1 5％的解释。
剩下的不能被解释的变化可能会由被省略的因素引起，如行业中的联姻关系及股票的
特有因素，这些信息本身并不足以得出任何一种有价值的结论。R2值在月份之间很少
变化这个事实说明了收益与各因素之间的关系是稳定的，并不具有样本的特殊性。
2。 在大部分月份中都具有大于2的t检验值，我们应该认为这个因素是很显著的。
如果因素系数与0差别不大，那么在所有因素系数的t检验中，大于2的情况应在5％以
下。因为现在大于2的t检验值很频繁，所以我们应该认为股票收益的解释能力中，它
们是很显著的因素。
3。 因为表示工会化的系数总保持为负，而且具有统计意义上的显著性，所以我们
推知在其他因素不变的情况下，工会化会降低公司普通股的收益。这也就是说，在其
他任何因素都相同的情况下，不形成工会组织的公司的股票收益率将比那些形成工会
组织的公司要高。当然，我们应该进一步检验是否存在解释这个明显差别的其他被忽
略的变量。
