零的历史-第14章
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零减去负数得到正数；减去正数得到负数；负数减去零仍是负数；正数减去零是正数；零减零是零。
这就象音乐家必须知道G是C调的属音，C是F调的属音，A是D调的属音等，却从不注意属音总是音阶的第五音。
数学家们总是追求完美。五个世纪后，卜哈斯卡瑞以完美而简洁的语言重新表述了卜日马古普塔的论述：“加上或减去零，正数和负数的值保持不变，但是被零减去之后，正数和负数变成他们的相反数”。他在36岁时写了一本书《魅力女孩》（Charming Girl ，Lilavati）以及这一定律——可能因为它充满以下这样的问题：
美丽可爱的女孩，她的眼睛象古罗马神话中的农牧神！如果你擅长乘法，请告诉我135乘以12是多少？
他们没有再写过那样的数学书。
马哈韦日在大概介于这两者之间的中间领域，取得了很多成就。830年左右，考虑到零在与其他数字发生作用时保持不变（这并不很好的符合耆那教的逻辑法则 ，在那里他们的实质与表现没有区别？）。他也继续说“一个数字乘以零是零，那个数字将保持不变当它……减去一个零的时候。”卜日马古普塔在前，卜哈斯卡瑞在后都同意以上观点。
但我遗漏了一个问题，在这三个方面他们的观点严重不一样：正数、负数、零除以零。我们自己有多么确定这个问题答案是什么吗，并且是为什么呢？马哈韦日说：“一个数除以零这个数保持不变”。他的翻译极力解释这个错误，他说马哈韦日显然是认为除以零与根本不做除法是一样的。我认为，因为乘法可以看作流线型的加法（5×4可以看作5个4相加），可能他将除法看作流线型的减法（20÷5等于将5从20中减去4次）。假如这样的话，当除以零时可以看作将零从这一数字中减去，结果仍是这个数。这种类似性也可能让他陷入将0从20中减去多少次这一问题。但是就象你所见到的，减法中的可逆性掩盖了这一想法。
卜日马古普塔是很谨慎的：
正数或负数，除以零，即，是一个以零为分母的分数＇他将这称作“khacheda”，来自表示零的单词“kha”＇。零除以正数或负数是零或可以表达为一个以零为分子以有限数为分母的分数……零除以零是零……
对于 来说他是完全正确的，a是一个正数或负数；并说（就象他开始所做的） 仅仅是将一种概念从一种类型转变为另一种类型，但并不能得到结果。但 仅仅是一种结果而且是错误的。
现在看看卜哈斯卡瑞的结论，卜哈斯卡瑞的说法与卜日马古普塔的是非常相似的，他说：“一个数，被零除则成为一个以零为分母的分数。”但他继续说：
这个分数被定义为一个无穷数＇“khahara”与卜日马古普塔所说的“khacheda”是同意词＇。尽管可能要加上或减去许多数，但这个数以零为除数的情况是不变的；就象当世界被创造或毁灭时，无数的生物产生或消亡，但无穷和永恒的上帝是不变的。
这重要的一章——以一种使人联想起婆罗门的词汇来描述 ——引起了评论家们极大的注意。在16世纪末，评论家中的一员，试图用日晷仪（日晷仪指示某地太阳时间的一种仪器，通过一个中心突出指针在围绕刻有标准刻度的日晷上的阴影来指示时间——译者注）获得的图案来解释卜哈斯卡瑞的意思。他说，在日出和日落时，日晷指针的影子总是无限长的，无论日晷的半径和指针的高度是多少，情况总是如此。
你可能经常听人们说 =∞，但确实如此吗？这种假设的等式意味着什么？ =4是有意义的，因为它是数字之间的一个等式，这一点在《魅力女孩》中可能已经告诉你了。但无穷大不是一个数（就象孩子们认为的将拉丁文Infinitus est numerus stultorum翻译成：无穷大是蠢人的数字，它甚至不是一个蠢人想出来的数。）那么，我们把 假定为什么呢？这个答案将告诉你很多关于数学的技巧。
第二部分 灰尘第15节 零的形式上的变化（2）
认为所有的数字都是一样的，这样的想法极其不合常理。例如经验告诉我们6不是17，（不管是不是经验，我们思想中的这些区别看来是本来所固有的）。但假如数字可以除以零，那么所有的数字都会变成相同的。为什么？印度数学家能告诉我们：所有的数乘以零是零，所以，6·0=0，17·0=0，由此可见，6·0=17·0。如果可以用数字除以零，就可以得到 ，零可以约去，所以6=17。他们是不相等的，所以数字除以零是不合理的， 毫无意义。
这种反证法从古希腊就开始应用了。为什么需要它的时候没有一个印度数学家使用它呢？确实，一部分原因是因为证明就象艺术作品一样并不按我们的命令出现，而是来源于尚未完全弄清楚的人类的洞察力；还因为印度数学家的风格，他们赞成原理却不去证明他们；另外也许是因为说一些事物毫无意义几乎等于说你不知道它是什么意思。一个阿拉伯旅行家这样评价他遇到的印度人：
……他们讨厌用坦率的话语“我不知道”，公开承认他们的无知，无论什么情况之下，这句话对他们来说都是困难的。
另一方面，印度人将这个阿拉伯旅行家说成：“尖酸得醋与他相比都变甜了”。
不仅仅印度人继续他们关于零的其他运算（卜哈斯卡瑞正确的宣称，02＝0和 ）将计算扩展到无理数的范畴之后，例如 ，仅简单通过声明无理数可以象整数一样考虑。在巴卡沙里的手稿中，制定了任何种类数字计算的规则，所以卜哈斯卡瑞可以问：“听着，博学的先生们！告诉我‘乘以五’减去1的结果和‘乘以3’加上2结果相乘，结果是多少，或者可以叫做（5x…1）（3x＋2）是多少？
当不考虑虚数（甚至不考虑正数的负根——人们并不赞成卜哈斯卡瑞有民主精神的说法），卜哈斯卡瑞可以得出如下等式：
给人印象更深的是，他可以解这些方程：也是对于这一点，从内心深处汲取力量是一回事，而让这种力量随叫随到则是另一回事。
你所看到的是一种正在形成中的数学和几何语言，这种语言的发展有着意义深远的结果。数字间存在令人不舒服的差距，他们代表不同的事物。当焦点从数字间的差距上转移之后，零所表示的范围也不会缩小。这些行为表现在方程中——方程的解，即，使等式成立的未知数的数值。可能是零，也完全可能是其他的一些数字。因为x的未知解可以是任何一种数字，所以这意味着零和其他数字的差距进一步缩小了。但从公元500年到1 500年间的几个世纪，零的形式转变是这样的：一种更为抽象的结构代替了人们思想中固有的、一些数学家的说法。因为定数有许多名称，它们的关系也都很容易记忆。现在这些名词都必须简化为写出来的符号。这样使得数字立刻具体起来，对没有基础的人更难以使用。因为它们简化了它们所代表的事物，但也可以让你说出一些以前没有想到的事。x2＋2x…22=0表示把面积（x2）；长度（3x）和22（常数）放在一个句子中。这是很难以想象的。但现在你可以很容易的写出x4＋3x…22=0并解这一等式。但是如何描述x4所代表的量度呢？难怪麦寥麦斯百瑞的威廉说这是危险的撒拉逊人的魔术。
数字符号的神秘使这种称呼具有吸引力，并强化符号超自然力的特征及权威。但是在数字神殿中还有更重要的一些事情。像零一样，数字都变得看不见摸不着了：不再是物体的描述物而是纯粹的物体本身。“三（Three）”一度像“小（small）”：它可以修饰鞋、船或密封蜡。但它现在已经与这些在很短时期内与它相联系的乱七八糟的事情离得很远。数字获得了自己的形容词：正、负、自然的（整数或计算数字的官方说法），有理的（来源于‘理性’一词，因为这些是分数），实的（有理的和无理的），并且在一定时期这些形容词也会变成名词（有理数、实数）。数字在计算过程中改变形态并证明自己的存在，对这一点来说形容数的词汇也变成表面现象了。我们所看到、所感觉到的一切包括数字的起因及影响。他们是位置保持者，是容器，可以让计算筹码匆匆地随地乱放。通过将我们自己与数字融合在一起——通过找到麻雀下降过程中的控制方程——我们至少能将所有生物的情况纳入考虑之中。
在第四章里我描述了概括抽象如何成为数学的素材：一旦你将所有事件都纳入一个有条理的网络中，你就将这一网络概括为另一个更笼统网络上的一个结点。让我们应用这一过程。表现出来数学形式上的巨大变化，这一变化发生在大概公元前5世纪开始，大约在几千年之后完全确定下来的变化过程中。象所有有力量的变化一样，这不过是重点上的一个变化：也就是我们语言中重音落在何处的问题。
我们生活中充满比喻。我们的语言充满了比喻，我们的论述和信仰通过明喻得以继续下去：A像B。在这一转变开始之间，我们的比喻用来美化并闻名并不清楚的问题。如果我们说这正像其他一些事物，“这”是需要说明的，然而其他一些事物，B，可能是非常生动的或让人们更熟悉、更容易理解的：
就像一头狮子在一群人中犹豫、害怕，无论何时他们在周围形成的都是危险的圈，因此珀涅罗珀（Penelope，奥德修斯的忠实妻子； 丈夫远征20年； 期间她拒绝了无数求婚者——译者注）坚持自己的思想……
上面的是来自荷马的话，下面是维吉尔（Virgil，古罗马诗人；公元前70…公元前19——译者注）的话：
死亡充斥在四周的时候，疾病就象秋天第一场霜之后的落叶。
慢慢的，重点开始转移了。直到“A像B”用于使人们透彻了解所重视的问题。B使我们无法了解、无法触及的。我们所看到的是真实事物的模仿或暗示。德国浪漫诗人哈德林（ ）在他浪漫的诗歌中写道：
这里我们是神灵，但是在别处时，我们并不能使一切都圆满。
事实上，这种借喻方法是浪漫主义的核心。按这一论点来说，它最初产生于二千年前，而不是19世纪。
人们几乎不费什么力气就把差异很大的信仰和哲学统一到同一旗帜之下：“是那里而不是这里”。这与赫拉克利特说的话是一样早的：“神的寓言在特尔裴（Delphi希腊古都）它既不肯定也不否定，但是提出问题。”思想是外界的，事物的表现与它短暂的融合在一起，这是柏拉图想象力的核心。从公元一世纪起，这一理论就体现在佛教徒“四大皆空”的理论之中。他们说事物本身是空的（ ）（一位学者发现这是 “印度思想的一个新的转折点”）。我们更熟悉的是基督教和伊斯兰教所包含的教义，但是一种更古老的宗教——犹太教，反对这些教义。
当人们问这或那是什么意思，并得到它们字典上的定义时，可�
